Рассмотрим теперь подробнее процедуру расчета коэффициентов разложения рядов (3.14). Условия (3.16) выделяют единственное решение уравнений (3.15)
\[
x^{(1)}=\cos \tau, \quad y^{(1)}=\sin \tau .
\]
Далее рассмотрим систему уравнений (3.17). Функции $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ будут квадратичными формами от $\sin \tau$ и $\cos \tau$. На основании предыдущего эта система имеет периодическое решение, которое может быть построено одним из известных способов или, например, методом вариации произвольных постоянных или представлением решения в виде отрезка ряда Фурье
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{(2)}=A \cos \tau+B \sin \tau+\varphi_{1}, \\
y^{(2)}=A \sin \tau-B \cos \tau+\varphi_{2},
\end{array}\right\}
\]
где функции $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ имеют вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi_{1}=\alpha_{10}+\alpha_{11} \cos 2 \tau+\alpha_{12} \sin 2 \tau, \\
\varphi_{2}=\alpha_{20}+\alpha_{21} \cos 2 \tau+\alpha_{22} \sin 2 \tau .
\end{array}\right\}
\]
В самом деле, так как функции $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ содержат только вторые степени функций $x^{(1)}$ и $x^{(2)}$, то разложение $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ в ряд Фурье не будет содержать первых гармоник. Коэффициенты $\alpha_{i j}$ в разложении (3.25) однозначно определяются коэффициентами разложения функций $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$. Числа $A$ и $B$ в выражениях (3.24) определяются начальными условиями (3.20). Аналогично вычисляются и остальные члены разложения (3.14).
Рассмотрим теперь более подробно условия (3.22). Принимая во внимание выражения (3.23) для $x^{(1)}$ и $x^{(2)}$, можно эгн условия переписать так:
\[
\left.\begin{array}{c}
\int_{0}^{2 \pi}\left\{X^{(k)}(t) \cos t+Y^{(k)}(t) \sin t\right\} d t=0, \\
h_{k-1}=\frac{1}{2 \pi \lambda} \int_{0}^{2 \pi}\left\{X^{(k)}(t) \sin t-Y^{(k)}(t) \cos t\right\} d t .
\end{array}\right\}
\]
Второе из этих равенств позволяет вычислить поправку на частоту $h_{h-1}$. Изложенная проледура расчега показывает, что для определения первой поправки на частоту необходимо провести вычисления первых трех приближений.
Примечание. В предыдущем пункте было установлено, что функции $X^{(k)}$ и $Y^{(k)}$ таковы, что они всегда удовлетворяют условиям существования перисдических решений. Этот факт легко проверить, непосредственно пользуясь структурой этих функций. Так, например, функции $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ имеют представления типа (3.25). Подставляя подобное выражение в (3.26), убеждаемся в том, что оно удовлетворяется тождественно по $\alpha_{i j}$.
Мы показали, что ряды (3.14) являются формальным решением системы уравнений (3.13), но, согласно теореме Ляпунова, решение этой системы является аналитической функцией параметра $c$ в окрестности точки $c=0$. Это значит, что для достаточно малых значений $|c|$ ряды (3.14) сходятся и дают решение.
Итак, метод Ляпунова позволяет построить решение в виде рядов (3.14). Возвращаясь к переменному $t$, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
x=c \cos \left(\frac{\lambda\left(t+t_{0}\right)}{1+h_{2} c^{2}+\ldots}\right)+c^{2} x^{(2)}\left(\frac{\lambda\left(t+t_{0}\right)}{1+h_{2} c^{2}+\ldots}\right)+c^{3}(\ldots)+\ldots, \\
y=c \sin \left(\frac{\lambda\left(t+t_{0}\right)}{1+h_{2} c^{2}+\ldots}\right)+c^{2} y^{(2)}\left(\frac{\lambda\left(t+t_{0}\right)}{1+h_{2} c^{2}+\ldots}\right)+c^{3}(\ldots)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]
где $x^{(i)}$ и $y^{(i)}$ – периодические функции своего аргумента $\frac{\lambda\left(t+t_{0}\right)}{1+h_{2} c^{2}+\ldots}$ периода $2 \pi$.
Любой отрезок, состоящий из конечного числа членов рядов (3.27), мы можем использовать для приближенного описания колебательного процесса. Заметим одновременно, что, поскольку частоту мы всегда определяем с некоторой погрешностью, то с увеличением времени $t$ ошибка в вычислении фазы будет все время накапливаться. Метод Ляпунова не дает, таким образом, возможности получить равномсрное приближение по фазе на всем бесконечном интервале времени.
Выражение (3.27) дает общий интеграл системы Ляпунова, поскольку правые части (3.27) содержат две произвольные постоянные: амплитуду $c$ и аддитивную постоянную $t_{0}$. Следовательно, метод Ляпунова позволяет исследовать эти системы в окрестности положения равновесия с исчерпывающей полнотой.
В заключение рассмотрим два примера.
