В теории колебаний неизохронных систем мы обычно сталкиваемся с гораздо более сложным случаем, когда одно из фундаментальных решений уравнения в вариациях не является периодичегкой функцией времени. В этом случае условия разрешимости будут выглядеть совсем иначе.

Итак, рассмотрим уравнение (2.13) и предположим, что оно является уравнением в вариациях для уравнения
\[
\ddot{z}+f(z)=0 .
\]

Общий интеграл уравнения (2.23), согласно теореме предыдущего параграфа, для достаточно малых энергий, является периодической функцией времени некоторого периода $T=2 \pi / \omega(c)$ и аналитической функцией величины $c=x(0)=x_{0}$ :
\[
z=c \varphi_{1}(\psi)+c^{2} \varphi_{2}(\psi)+\ldots,
\]

где
\[
\psi=\omega(c)\left(t+t_{0}\right),
\]

$\omega(c)$ называется частотой. Эта функция определяется таким образом, что функции $\varphi_{i}(\psi)$ оказываются периодическими функциями аргумента $\psi$ с периодом, равным $2 \pi$.

Согласно лемме, доказанной з последнем параграфе главы I, частные решения уравнения (2.13) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{*}=\frac{\partial z}{\partial t_{0}}=\omega(c) \frac{\partial z}{\partial \psi}, \\
x_{2}^{*}=\frac{\partial z}{\partial c}=\frac{\widetilde{\partial z}}{\partial c}+\frac{\partial z}{\partial \Psi} \frac{\partial \omega}{d c} t,
\end{array}
\]

где $\widetilde{\partial z} / \partial c$ означает дифференцирование по явно входящему аргументу $c$. Эта функция будет периодической функцией времени. Так как функция $\partial z / \partial \psi$ – периодическая функция, то и $x_{1}^{*}(t)$ также периодическая функция периода $2 \pi$ по аргументу $\psi$. Что касается функции $x_{2}^{*}(t)$, то она будет периодической функцией тогда и только тогда, когда $d \omega / d c=\omega^{\prime} \equiv 0$. Введем обозначения
\[
u=\frac{1}{\omega} x_{1}^{*}, \quad v=\frac{1}{\omega^{\prime}} \frac{\tilde{\partial z}}{\partial c}
\]

и введем новую систему линейно независимых решений уравнения (2.13) в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{1}{\omega} x_{1}^{*}=u, \\
x_{2}=\frac{1}{\omega^{\prime}} x_{2}^{*}=v+u t,
\end{array}\right\}
\]

где $u$ и $v$-периодические функции времени. Перепишем теперь условия периодичности (2.19)
\[
\begin{array}{l}
u(2 \pi)\left\{-\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F(v+u t) d t+C_{1}\right\}+ \\
+(v(2 \pi)+2 \pi u(2 \pi))\left\{\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F u d t+C_{2}\right\}=x_{0}, \\
\dot{u}(2 \pi)\left\{-\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F(v+u t) d t+C_{1}\right\}+ \\
+(\dot{v}(2 \pi)+2 \pi \dot{u}(2 \pi)+u(2 \pi))\left\{\frac{1}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F u d t+C_{2}\right\}=\dot{x}_{0} . \\
\end{array}
\]

Выпишем еще условия (2.20)
\[
\left.\begin{array}{l}
u(0) C_{1}+v(0) C_{2}=x_{0}, \\
\dot{u}(0) C_{1}+(\dot{v}(0)+u(0)) C_{2}=\dot{x}_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Так как рункции $u$ и $v$ периодические, то условия (2.26) сохраняют свою силу при изменении аргумента на $2 \pi$
\[
\begin{array}{l}
u(2 \pi) C_{1}+v(2 \pi) C_{2}=x_{0}, \\
\dot{u}(2 \pi) C_{1}+(\dot{v}(2 \pi)+u(2 \pi)) C_{2}=\dot{x}_{0} .
\end{array}
\]

Это позволяет упростить условия (2.19)
\[
\left.\begin{array}{c}
-\frac{u(2 \pi)}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F(v+u t) d t+\frac{v(2 \pi)+2 \pi u(2 \pi)}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F u d t= \\
=-C_{2} 2 \pi u(2 \pi), \\
-\frac{\dot{u}(2 \pi)}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F(v+u t) d t+\quad \\
+\frac{\dot{v}(2 \pi)+u(2 \pi)+2 \pi \dot{u}(2 \pi)}{\Delta} \int_{0}^{2 \pi} F u d t=-C_{2} \dot{u}(2 \pi) \cdot 2 \pi .
\end{array}\right\}
\]

Разрешим систему уравнений (2.27) относительно интегралов, которые входят в ее левую часть. Принимая во внимание, что $\Delta$ – вронскиан функций $x_{1}=u$ и $x_{2}=v+u t$ есть величина постоянная, находим
\[
\left.\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi} F(t)(v(t)+t u(t)) d t=2 \pi \Delta C_{2}, \\
\int_{0}^{2 \pi} F(t) u(t) d t=0
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, функция $F$, так же как и в предыдушем случае, должна быть ортогональной тому фундаментальному решению, которое является периодической функцией времени.

Величина $C_{2}$, так же как и $\Delta$, определяется начальными значениями функций $u$ и $v$ и начальными значениями $x_{0}$ и $\dot{x}_{0}$. Из уравнений (2.20) находим
\[
C_{2}=\frac{\dot{x}_{0} x_{1}(0)-x_{0} \dot{x}_{1}(0)}{\Delta}
\]

Итак, окончательно условия (2.28) можно переписать в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi} F(t) u(t) d t=0, \\
\int_{0}^{2 \pi} F(t)\{v(t)+t u(t)\} d t=2 \pi\left(\dot{x}_{0} u(0)+x_{0} \dot{u}(0)\right) .
\end{array}\right\}
\]