Для того чтобы нагляднее представить физический смысл изучаемого явления и роль различных параметров, удобно перейти к безразмерным переменным. Для этого надо прежде всего выбјать определяющие масштабы. В качестве таких величин можно выбрать, например, начальную энергию и отклонение от положения равновесия. Тогда весь процесс будет определяться только характеристиками силового поля, т. е. числами $\omega$ и $\mu$. Однако такой выбор масштабов неудобен, так как, варьируя параметры $\omega$ и $\mu$, мы будем все время получать различные фазовые плоскости. Поэтому в качестве определяющих масштабов удобнеє выбрать сами величины ю и $\mu$. Пусть безразмерное отклонение $\xi$ и безразмерное время $\tau$ определяется равенствами
\[
x=\frac{\omega}{\sqrt{\mu}} \xi, \quad t=\frac{\tau}{\omega} .
\]
В этих переменных уравнение (2.1) будет иметь вид
\[
\xi+\xi-\xi^{3}=0 .
\]
Уравнения для определения $\sigma, k$ и $C$ будут теперь такими:
\[
\begin{array}{c}
\sigma^{2}\left(1+k^{2}\right)=1, \\
2 \frac{\sigma^{2} k^{2}}{C^{2}}=1, \\
\sigma C=l,
\end{array}
\]
где $l=\frac{\lambda \sqrt{\mu}}{\omega^{2}}$. Отсюда видно, что характер процесса определяется только одной безразмерной величиной – безразмерной энергией $l^{2}$. Найдем зависимость периода колебаний $T$ от этой величины. Модуль эллиптической функции $k$ также определяется только числом $l$. Сначала найдем эту связь. Из (2.14) и (2.15) находим
\[
k^{2}=\frac{l^{2}}{2 \sigma^{4}} .
\]
Подставляя это значение $k$ в (2.13), находим
\[
\sigma^{4}-\sigma^{2}+\frac{l^{2}}{2}=0,
\]
откуда
\[
\sigma^{2}=\frac{1 \pm \sqrt{1-2 l^{2}}}{2} .
\]
В этом выражении следует выбирать определенным образом знак перед корнем. Выбираем знак + , поскольку при $l \rightarrow 0$ (т. е. $\dot{x}(0) \rightarrow 0$ или $\mu \rightarrow 0$, или $\omega \rightarrow \infty$ ) задача должна переходить в линейную $\left.{ }^{*}\right)$, т. е.
\[
\lim _{l \rightarrow 0} \sigma(l)=1
\]
*) Используя периодичность эллиптических функций, нетрудно показать, что решение, которое соответствует тому случаю, когда перед корнем взят знак – (минус), получается из исследуемого сдвигом на период $T_{u}$.
Подставляя это значение $\sigma$ в выражение для $k^{2}$, окончательно получаем
\[
k^{2}=\frac{2 l^{2}}{\left(1+\sqrt{1-2 l^{2}}\right)^{2}} .
\]
Теперь мы можем определить зависимость периода от начальной энергии. На основании формулы (2.3) получим
\[
T_{u}=4 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-\frac{2 l^{2}}{\left(1+\sqrt{1-2 l^{2}}\right)} \sin ^{2} \varphi}} .
\]
Из формулы (2.17) легко найти период по времени $T_{t}$, так как в нашем случае $u=\sigma t$, т. е. $T_{t}=\frac{1}{\sigma} T_{u}$ :
\[
T_{t}=\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{1-2 l^{2}}}} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \varphi}{\sqrt{1-\frac{2 l^{2} \sin ^{2} \varphi}{\left(1+\sqrt{1-2 l^{2}}\right)^{2}}}} .
\]
Формула (2.18) содержит основной результат данного параграфа – она в явном виде дает зависимость периода колебаний
Рис. 8. от начальной энергии $l^{2}$, т. е. дает количественное выражение одному из основных свойств нелинейных колебаний – его неизохронности. Зависимость $T_{t}(l)$ приведена на рис. 8. При $\mu=0$ мы имеем линейную задачу и безразмерный период колебаний равен $2 \pi$. Таким образом,
\[
\lim _{l \rightarrow 0} T=2 \pi \text {. }
\]
При $l \rightarrow 1 / \sqrt{2}$ период $T_{t}$ стремится к бесконечности. Маятник, который описывается уравнением (2.12), обладает тем свойством, что при некотором значении начальной энергии движение изображающей точки в фазовой плоскости происходит по сепаратрисе. Қак было показано в предыдущем параграфе, это критическое значение энергии достигается для уравнения (1.7) при $x= \pm \omega / \sqrt{\mu}$ и равно $\omega^{4} / 4|\mu|$. В нашем случае $\omega=1, \mu=-1$ и критическое значение энергии $C=l^{2} / 2$. Отсюда $l=1 / \sqrt{2}$. Таким образом, попутно мы установили, что движение по сепаратрисе, если его рассматривать как колебательное, имеет бесконечный период.
В предыдущем параграфе качественными методами мы установили, что уравнение Дюффинга, помимо периодических решений, допускает также решения апериодические. Характер колебаний определяется только начальной энергией. Если начальная энергия меньше $C^{*}$, то процесс, описываемый уравнением, носиг колебательный характер, в противном случае – апериодический. Таким образом, уже качественное рассмотрение позволило нам установить отсутствие изохронности колебательного процесса, описываемого уравнением Дюффинга. Теперь мы установили характер этой закономерности и до конца решили вопрос об этом важном свойстве нелинейных колебаний, описываемых уравнением Дюффинга.
Мы видим, что существуют такие нелинейные системы, у которых характер движения очень напоминает гармонические колебания. Однако эти колебания оказались неизохронными: с изменением амплитуды изменилась и частота. Мы обнаружили также, что существуют движения и качественно непохожие на линейные колебания.
Существует и еще целый ряд явлений, в которых проявляется качественное различие линейных и нелинейных колебаний. Например, поведение при резонансе. Даже само понятие резонанса в нелинейных системах, строго говоря, не имеет смысла. В самом деле, в линейных системах резонансом называют явления, возникающие в линейной системе под действием внешней периодической силы, частота которой совпадает с частотой свободных колебаний системы. В условиях резонанса амплитуда колебаний линейной системы непрерывно возрастает. Таким образом, внешняя возбуждающая сила в этих условиях непрерывно вносит энергию в линейную систему: В нелинейной системе с изменением амплитуды немедленно изменяется частота собственных колебаний. Следовательно, «резонансная» ситуация, если она имела место, немедленно разрушится. Эти рассуждения наводят на мысль о том, что могут существовать нелинейные системы, у которых для любых частот возмущающих воздействий могут существовать установившиеся колебательные режимы конечной амплитуды. Уже в следующей главе мы убедимся в справедливости подобного прогноза и изучим методы, позволяющие определить резонансные режимы в нелинейных системах.
