Формула (3.11) является выражением значительно более общего результата. Пусть мы имеем произвольное нелинейное уравнение вида
\[
\ddot{z}+f(z, \varepsilon t)=0,
\]

у которого решение
\[
z=Q(x, y, \varepsilon t)
\]

является периодической функцией $y$ периода $2 \pi$. Тогда зависимость амплитуды от времени может быть получена без интегрирования уравнения (3.12). В самом деле, для уравнения (3.12) интеграл действия будет адиабатическим инвариантом, т. е.
\[
\int_{0}^{2 \pi} \omega(x, \varepsilon t) Q_{y}^{2}(x, y, \varepsilon t) d y=\text { const. }
\]

Выражение (3.14) является некоторым трансцендентным уравнением, которое связывает величины $x$ и $t$
\[
\Phi(x, t)=0
\]

и представляет собой неявное задание функции $x(t)$.

Полная энергия системы не является адиабатическим инвариантом, хотя она определяется так же, как и интеграл действия, только амплитудой. Однако, имея в распоряжении зависимость $x(\varepsilon t)$ и используя то обстоятельство, что
\[
\frac{d E}{d t}=-\Delta \dot{x}+\varepsilon E_{\tau},
\]

мы можем легко подсчитать изменение энергии системы вследствие изменения параметров системы. Нетрудно убедиться в том, что $d E / d t$ имеет порядок величины $\varepsilon$.

Процедура вычисления энергии может быть и не связана с нахождением корней трансцендентного уравнения (3.14′). Для этой цели следует использовать рассуждения предыдущего параграфа. Найдем производную величины $\alpha=2 E$

где
\[
\alpha=\dot{z}^{2}+U(z, \tau)
\]
\[
U(z, \tau)=\int_{z_{1}}^{z} f(z, \tau) d z
\]

Так как
\[
\ddot{z}=-f(z, \tau),
\]

то производная $d \alpha / d t$, вычисленная в силу этого уравнения, будет
\[
\dot{\alpha}=\varepsilon U_{\tau}
\]

или после усреднения
\[
\dot{\alpha}=\frac{\varepsilon}{T(\alpha)} \int_{\beta_{0}}^{\beta_{0}+T} U_{\tau}(z, \tau) d \beta=\frac{\varepsilon}{T(\alpha)}\left\{\int_{\underline{z}}^{z} \frac{U_{\tau} d z}{\sqrt{\alpha-U_{z}}}-\int_{\bar{z}}^{z} \frac{U_{\tau} d z}{\sqrt{\alpha-U(z)}}\right\},
\]

где $z$ и $\bar{z}$ являюгся корнями уравнения $U(z)=0$.