Рассмотрим теперь уравнение (3.8) и по. ставим вопрос о том, какие условия следует наложить на функцию $\varphi(t)$ для того, чтобы гарантировать ограниченность колебаний, описываемых этим уравнением. Докажем сначала для этого одну вспомогательную лемму, которая нам понадобится еще и в дальнейшем.

Лемма. Пусть и и v-неотрицательные функции, а $C$ — положительная постоянная, причем для любого $t \geqslant 0$ выполняется неравенство
\[
u \leqslant C+\int_{0}^{t} u v d t .
\]

Тогда
\[
u \leqslant C \exp \int_{0}^{t} v d t .
\]

Для доказательства умножим неравенство (4.11) на $v$ и перепишем его в следующем виде:
\[
\frac{u v}{c+\int_{0}^{t} u \tau d t} \leqslant v
\]

или
\[
\frac{\frac{d}{d t}\left(C+\int_{0}^{t} u v d t\right)}{C+\int_{0}^{t} u v d t} \leqslant v .
\]

Умножая (4.13) на $d t$ и интегрируя, получим

откуда
\[
\ln \left(C+\int_{0}^{t} u v d t\right)-\ln C \leqslant \int_{0}^{t} v d t
\]
\[
C+\int_{0}^{t} u v d t \leqslant C \exp \left\{\int_{0}^{t} v d t\right\} .
\]

Согласно (4.11) мы только усилим неравенство (4.14), если его левую часть заменим функцией $u$. Итак, справедливость неравенства (4.12) доказана.