Рассмотрим снова системы (7.9) и предположим, что $\omega^{2}=1$. В предыдущем разделе мы рассматривали задачу отыскания периодических решений системы (7.9$)$, которые при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходят в периодическое решение порождающего уравнения (7.10). В том случае, когда $\omega=1$, такая постановка не имеет смысла, поскольку порождающее уравнение не имеет периодических решений. Поэтому в теореме Пуанкаре рассматриваются только те задачи, в которых интенсивность внешнего возбуждения мала.
Будем рассматривать уравнение
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=\varepsilon a \cos t+\varepsilon \varphi(x, \dot{x})
\]

и предположим, что
\[
\omega^{2}=1-\varepsilon \delta .
\]

Примечание. Метод, который будет изложен, может быть без каких-либо оговорок перенесен на случай уравнения
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=\varepsilon[a \cos n t+\varphi(x, \dot{x})]+F(t),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\omega^{2}=n^{2}-\varepsilon \delta, \\
F(t)=F_{0}+\sum_{k
eq n} F_{k}^{(1)} \cos k t+\sum_{k
eq n} F_{k,}^{(2)} \sin k t .
\end{array}
\]

З самом деле, для этого достаточно принять $x=\tilde{x}+x^{*}$, где $x^{*}-$ частное решение уравнения
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=F(t),
\]

имеющее период $2 \pi$. Функция $\tilde{x}$ после такой замены будет удовлетворять уравнению типа (7.16).
Рассмотрим порождающее уравнение
\[
\ddot{x}+x=0 .
\]

Уравнение (7.17) допускает двупараметрическое семейство периодических решений периода $2 \pi$
\[
x=M \cos t+N \sin t .
\]

В предыдущем случае порождающее уравнение имело только одно периодическое решение указанного периода. В данном случае любое его решение периодическое.

Попробуем отыскать периодическое решение уравнения (7.16), которое при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в одно из решений семейства (7.18). Другими словами, считая $M$ и $N$ величинами, которыми мы можем распоряжаться, постараемся их подобрать так, чтобы в окрестности решения (7.18) уравнения (7.17) обеспечить существование искомого периодического решения уравнения (7.16).
Решение будем искать в виде ряда
\[
x=x^{(0)}+\varepsilon x^{(1)}+\varepsilon^{2} x^{(2)}+\ldots,
\]

где $x^{(0)}$ – одна из функций семейства (7.18). Функция $x^{(1)}$ удовлетворяет уравнению
\[
\begin{aligned}
\ddot{x}^{(1)}+x^{(1)}=a \cos t+\varphi(M \cos t+N & \sin t,-M \sin t+N \cos t)+ \\
& +\delta M \cos t+\delta N \sin t .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы уравнение (7.20) допускало периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы разложение правой части в ряд Фурье не содержало членов вида $A \cos t+B \sin t$. Эти условия нам дают два уравнения для определения неизвестных чисел $M$ и $N$
\[
P(M, N) \equiv a+M \delta+
\]
\[
\begin{array}{l}
+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(M \cos t+N \sin t ;-M \sin t+N \cos t) \cos t d t=0, \\
Q(M, N) \equiv N \delta+
\end{array}
\]
\[
+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(M \cos t+N \sin t ;-M \sin t+N \cos t) \sin t d t=0 .
\]

Таким образом, для того чтобы уравнение (7.20) имело периодические решения периода $2 \pi$, необходимо, чтобы уравнения (7.21) имели действительные корни $\tilde{M}$ и $\widetilde{N}$.
В этом случае функция
\[
x=\widetilde{M} \cos t+\widetilde{N} \sin t
\]

может быть пределом периодических решений уравнения (7.16) при $\varepsilon \rightarrow 0$.

Если $M=
ot{M}$ и $N=\widetilde{N}$, то периодические решения уравнения (7.20) имеют вид
\[
x^{(1)}=\Phi^{(1)}+M_{1} \cos t+N_{1} \cos t .
\]

где $M_{1}$ и $N_{1}$ – произвольные числа, а $\Phi^{(1)}$ – частное решение, которое определяется по формулам п. 1 этого параграфа, поскольку разложение функции
$a \cos t+\delta(\tilde{M} \cos t+\tilde{N} \sin t)+\varphi(\tilde{M} \cos t+\tilde{N} \sin t$
\[
-\tilde{M} \sin t+\tilde{N} \cos t)=\sum_{k
eq 1}\left(\varphi_{k}^{(1)} \cos k t+\varphi_{k}^{(2)} \sin k t\right)
\]

в ряд Фурье, в силу выбора величин $\widetilde{M}$ и $\tilde{N}$, не содержит первых гармоник.
Рассмотрим уравнение для $x^{(2)}$
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}^{(2)}+x^{(2)}=\delta\left(\Phi^{(1)}+M_{1}\right.\left.\cos t+N_{1} \sin t\right)+ \\
+\frac{\partial \varphi}{\partial x}\left(M_{1} \cos t+N_{1} \sin t+\Phi^{(1)}\right)+ \\
+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}}\left(-M_{1} \sin t+N_{1} \cos t+\dot{\Phi}^{(1)}\right) .
\end{array}
\]

Производные $\frac{\partial \varphi}{\partial x}$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}}$ вычислены для значений $x=x^{(0)}$ и $\dot{x}=\dot{x}^{(0)}$; таким образом, правая часть этого уравнения является периодической функцией времени периода $2 \pi$. Следовательно, для существования периодических решений этой системы необходимо и достаточно, чтобы постоянные $M_{1}$ и $N_{1}$ были выбраны так, чтобы разложение правой части уравнения (7.23) в рял Фурье не содержало первых гармоник. Таким образом, постоянные $M_{1}$ и $N_{1}$ удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:
\[
\begin{array}{c}
M_{1}\left[\delta+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x} \cos ^{2} t-\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \cos t \sin t\right\} d t+\right. \\
+N_{1} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x} \sin t \cos t+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \cos ^{2} t\right\} d t= \\
=-\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x} \Phi^{(1)}+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \dot{\Phi}^{(1)}\right\} \cos t d t \equiv \Psi_{1}(t), \\
M_{1} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x} \cos t \sin t-\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \sin ^{2} t\right\} d t+ \\
+N_{1}\left[\delta+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x} \sin ^{2} t+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \cos t \sin t\right\} d t\right]= \\
=-\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x} \Phi^{(1)}+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \dot{\Phi}^{(1)}\right\} \sin t d t \equiv \Psi_{2}(t) .
\end{array}
\]

При составлении системы (7.24) было учтено, что разложение функции $\Phi^{(1)}$ в ряд Фурье не содержит первых гармоник.
Системе (7.24) можно придать следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
M_{1} \frac{\partial P}{\partial M}+N_{1} \frac{\partial P}{\partial N}=\Psi_{1}, \\
M_{1} \frac{\partial Q}{\partial M}+N_{1} \frac{\partial Q}{\partial N}=\Psi_{2} .
\end{array}\right\}
\]

Для разрешимости системы (7.25) необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант
\[
\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial P}{\partial \bar{M}} & \frac{\partial P}{\partial N} \\
\frac{\partial Q}{\partial M} & \frac{\partial Q}{\partial N}
\end{array}\right|=\frac{D(P, Q)}{D(M, N)}
\]

был отличен от нуля.
Элементы этого определителя вычислены при $M=\widetilde{M}$ и $N=\widetilde{N}$. Следовательно, условие (7.26) означает, что величины $\mathscr{M}$ и $\mathscr{N}$ являются простыми корнями системы уравнений (7.21).

Итак, для того чтобы уравнение второго приближения допускало периодические решения достаточно выполнения неравенства (7.26). В этом случае постоянные $M_{1}$ и $N_{1}$ будут определены из уравнений (7.25), котсрые образуют линейную систему алгебраических уравнений. Функция $x^{(2)}$ в этом случае будет определена формулой типа (7.22)
\[
x^{(2)}=\Phi^{(2)}+M_{2} \cos t+N_{2} \sin t,
\]

где $M_{2}$ и $N_{2}$ – произвольные постоянные, которые могут быть определены только в третьем приближении.

Проведенные рассуждения нетрудно продолжить по индукции и показать, что задача построения периодического решения уравнения номера $k$ сводится к решению алгебраической системы вида
\[
\left.\begin{array}{l}
M_{k-1} \frac{\partial P}{\partial M}+N_{k-1} \frac{\partial P}{\partial N}=\Psi_{1}^{(k)}, \\
M_{k-1} \frac{\partial Q}{\partial M}+N_{k-1} \frac{\partial Q}{\partial N}=\Psi_{2}^{(k)} .
\end{array}\right\}
\]

Система (7.28) всегда разрешима, если только $\mathscr{M}$ и $\check{N}$ – простые корни системы уравнений (7.21).

Итак, мы приходим к следующему результату (Пуанкаре). Если система уравнений (7.21) имеет простые корни, то каждой системе простых корней $\tilde{M}$ и $\tilde{N}$ соответствует ряд (7.19), каждый член которого может быть эффективно вычислен при помощи изложенной процедуры.

Пуанкаре доказал также, что при условии аналитичности правой части уравнения (7.16) ряды (7.19) сходятся для достаточно малых значений $\varepsilon$. В этом случае уравнение (7.16) допускает предельный цикл (периодическое решение). Число периодических решений соответствует числу простых корней системы (7.21).

Примечание. Тот случай, когда уравнение (7.21) имеет кратные корни, несколько более сложен для изучения. Однако он также тщательно изучался рядом авторов. В общем случае ряды, которые представляют периодические решения, должны быть расположены уже не по целым, а по дробным степеням параметра *).

Вернемся снова к уравнению (7.16). Если $\omega
eq 1$, то мы имеем нерезонансный случай и амплитуды вынужденных колебаний, как мы это видели, имеют порядок внешней возмущающей силы. т. е. порядок $O(\varepsilon)$. Если $\omega \sim 1$, то амплитуда вынужденных колебаний имеет порядок 1. Поэтому явлением резонанса в нелинейных системах естественно назвать возникновение интенсивных вынужденных колебаний при условии, что частота возмущающей силы близка к собственной частоте линейных колебаний.

В заключение напомним еще раз, что в линейных системах вдали от резонанса амплитуда вынужденных колебаннй также имеет порядок $O(\varepsilon)$. Существенное влияние малой нелинейности проявляется только в условиях, близких к резонансу.