В предыдущих разделах этого параграфа мы рассмотрели целый ряд задач динамики искусственных спутников, которые описываются системой уравнений с одной вращающейся фазой. Однако существует много интересных задач, которые сводятся к системе с двумя вращающимися фазами. В начале этого параграфа мы уже заметили, что если возмущающая сила зависит от времени, то мы приходим к системе уравнений с двумя быстрыми переменными. Такие задачи естественным образом возникают в динамике искусственных спутников Земли. $\mathrm{K}$ их числу относится, например, задача возмущения орбит высоких спутников Луной. В этой ситуации возмущения, вызываемые Луной, будут некоторыми периодическими функциями времени и, следовательно, полная система уравнений будет содержать две быстрые переменные. В том случае, когда период обращения спутника $T$ и Луны $T_{\text {л }}$ будут связаны соотношением
\[
T_{л}=k T \text {, }
\]

где $k$-целое число, мы будем иметь резонансный случай.
Можно привести еще целый ряд интересных резонансных задач подобного рода. Много новых задач, в которых имеет место резонансная ситуация, нам доставляет изучение относительного движения спутника в центральном поле.

Если тело не обладает сферической симметрией, то на него в центральном поле действует некоторый момент, так называемый гравитационный моменг. Под действием этого момента тело, движущееся по орбите вокруг Земли, совершает колебательное движение. Это движение в плоском случае может быть описано следующим уравнением *):
\[
(1+e \cos \theta) \frac{d^{2} \delta}{d \theta^{2}}-2 e \sin \theta \frac{d \delta}{d \theta}+3 a^{2} \sin \delta=4 e \sin \theta .
\]

Здесь приняты следующие обозначения:
\[
a=\frac{A-C}{B},
\]
*) В. В. Белецкий, О либрации спутника, сб. «Искусственные спутники Земли», N23, 1959.

$B$ – момент инерции аппарата стносительно оси перпендикулярной плоскости орбиты спутника, $A$ и $C$ – моменты инерции аппарата относительно осей инерции, лежащих в плоскости орбиты, причем $A>C$, т. е. $a \leqslant 1 ; \delta=2 \psi$, где $\psi$ – это угол между радиусом-вектором центра инерции аппарата и осью инерции, относительно которой момент инерции равен $C$, т. е. наиболее длинной из осей инерций, лежащих в плоскости орбит (см. рис. 37 , где даны обозначения), $\theta$ – угловое расстояние между радиусом-вектором центра инерции аппарата и направлением на перигей, $\quad e$-эксцентриситет орбиты спутника.
Заметим, что если $e=0$, то уравнение (8.65) принимает вид
\[
\frac{d^{2} \delta}{d \theta^{2}}+3 a^{2} \sin \delta=0 .
\]

Рис. 37.
Уравнение (8.66) допускает два стационарных режима $\delta=0$ и $\delta=\pi$. Устойчивым является первый режим $\delta=0$, соответствующий тому случаю, когда наиболее длинная ось инерции коллинеарна радиусу-вектору. Этот факт впервые был установлен известным французским астрономом Тиссераном. В случае $\delta=\pi$ (или $\psi=\pi / 2$ ) более длинная ось инерции перпендикулярна радиусу-вектору.

Предположим теперь, что эксцентриситет $e$-величина малая, тогда уравнение (8.65) перепишем так:
\[
\frac{d^{2} \delta}{d \theta^{2}}+3 a^{2} \sin \delta=e\left(4 \sin \theta+2 \sin \theta \frac{d \delta}{d \theta}+3 a^{2} \cos \theta \sin \delta\right)+O\left(e^{2}\right) .
\]

Уравнение (8.67) получается из (8.65), если сделать замену
\[
e \cos \theta \frac{d^{2} \delta}{d \theta^{2}}=e \cos \theta\left(-3 a^{2} \sin \delta+O(e)\right),
\]

оно представляет собой типичный пример для приложения излагаемой теории. При $e=0$ оно переходит в уравнение (8.66) и может быть проинтегрировано в эллиптических функциях
\[
\delta=q(x, y),
\]

где $x$-максимальное отклонение, а $y$-фаза; $y=\theta+\theta_{0}$. Bсе вычисления могут быть проделаны, следуя общей методике. Здесь мы ограничимся рассмотрением того частного случая, когда ось инерции с моментом инерции $C$ совершает малые колебания около своего положения равновесия ( $\delta=0$ ). Этот случай был проанализирован в уже цитированной работе В. В. Белецкого *).

Линеаризуя уравнение (8.67) и отбрасывая малые, порядок которых выше первого относительно $e$, мы получим
\[
\frac{d^{2} \delta}{d \theta^{2}}+\omega^{2} \delta=e\left(4 \sin \theta+2 \sin \theta \frac{d \delta}{d \theta}+\omega^{2} \cos \theta \delta\right),
\]

где
\[
\omega^{2}=3 a^{2} \text {. }
\]

Заметим, что частота $\omega$ определяется исключительно геометрическими характеристиками спутника – соотношением его моментов инерции.
Полагая как обычно
\[
\delta=x \cos y, \quad \frac{d \delta}{d \theta}=-\omega x \sin y,
\]

заменим уравнение (8.68) следующей системой:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=-\frac{e}{\omega}\left(4 \sin \theta-2 \sin \theta \sin y \omega x+\cos \theta \cos y \omega^{2} x\right) \sin y, \\
\frac{d y}{d \tau}=\omega-\frac{e}{\omega x}\left(4 \sin \theta-2 \sin \theta \sin y \omega x+\cos \theta \cos y \omega^{2} x\right) \cos y, \\
\frac{d \theta}{d \tau}=1
\end{array}\right\}
\]

Система (8.69) – это система с двумя быстрыми переменными $\theta$ и $y$. В зависимости от частоты $\omega$ (т. е. от соотношений моментов инерции) в системе (8.69) может возникать или не возникать резонансная ситуация.

При отсутствии резонанса первое приближение для системы (8.69), которое получается усреднением по обеим быстрым переменным, нам дает
\[
x=\text { const }, \quad y=y_{0}+\omega t,
\]
т. е. с точностью до величины порядка $O\left(e^{2}\right)$ спутник будет совершать гармонические колебания около положения равновесия $\delta=0$.

Если $a=\sqrt{3} / 3$, то $\omega=1$, и мы имеем случай главного резонанса. Исследуем это явление. Для этого прежде всего сделаем стандартную замену
\[
y=\theta+z, \quad \omega=1+e h
\]
*) В. В. Белецкий, Движение искусственного спугника относительно центра масс, кНаука», 1965.

и перепишем систему (8.69)
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{d \tau}= & -\frac{e}{\omega}\left\{4 \sin \theta \sin (\theta+z)-2 \omega x \sin ^{2}(\theta+z) \sin \theta+\right. \\
& \left.+\omega^{2} x \cos \theta \cos (\theta+z) \sin (\theta+z)\right\} \\
\frac{d z}{d \tau}= & -\frac{e}{\omega x}\{4 \sin \theta \cos (\theta+z)- \\
& \left.-2 \omega x \sin \theta \sin (\theta+z) \cos (\theta+z)+\omega^{2} x \cos \theta \cos (\theta+z)\right\}
\end{array}\right\}
\]

Система (8.70) содержит теперь только одну быструю переменную $\theta$, по этой переменной мы и должны провести усреднение.

Преобразуем правые части уравнений (8.70), используя замену
\[
\begin{array}{l}
\sin \theta=\sin (\theta+z) \cos z-\cos (\theta+z) \sin z, \\
\cos \theta=\cos (\theta+z) \cos z+\sin (\theta+z) \sin z .
\end{array}
\]

Получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=-\frac{e}{\omega}\left\{4 \sin ^{2}(\theta+z) \cos z-4 \cos (\theta+z) \sin (\theta+z) \sin z-\right. \\
-2 \omega x \sin ^{3}(\theta+z) \cos z+2 \omega x \cos (\theta+z) \sin ^{2}(\theta+z) \sin z+ \\
\left.\quad+\omega^{2} x \cos ^{2}(\theta+z) \sin (\theta+z) \cos z+\omega^{2} x \sin ^{2}(\theta+z) \cos (\theta+z) \sin z\right\} \\
\frac{d z}{d \tau}=-\frac{e}{\omega x}\left\{4 \sin (\theta+z) \cos (\theta+z) \cos z-4 \cos ^{2}(\theta+z) \sin z-\right. \\
-2 \omega x \sin ^{2}(\theta+z) \cos (\theta+z) \cos z+2 \omega x \cos ^{2}(\theta+z) \sin (\theta+z) \cos z+ \\
\left.\quad+\omega^{2} x \cos ^{3}(\theta+z) \cos z+\omega^{2} x \sin (\theta+z) \cos ^{2}(\theta+z) \sin z\right\}+e h .
\end{array}
\]

Tak как
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi(\theta+z) d \theta=\frac{1}{2 \pi} \int_{z}^{2 \pi+z} \Phi(\xi) d \xi,
\]

то мы можем провести усреднение по переменной $\xi=\theta
mid z$, в результате получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=-\frac{2 e}{\omega} \cos z, \\
\frac{d z}{d \tau}=-\frac{2 e}{\omega x} \sin z+e h
\end{array}\right\}
\]

Система (8.7l) допускает два стационарных режима:
I. $z=\frac{\pi}{2}, \quad x=\frac{2}{\omega h}$,
II. $z=-\frac{\pi}{2}, x=-\frac{2}{\omega h}$.

Мы видим, что при $h=0$ эти решения теряют смысл: система не допускает установившихся режимов. Этот результат следовало ожидать, поскольку исходное уравнение (8.68) было линейным, а в рамках линейной теории исследовать поведение системы в точке резонанса нельзя.

Для того чтобы исследовать характер колебания при нулевой расстройке, при упрощении уравнения (8.67) мы должны удержать члены более высокого порядка относительно $\delta$. Заменим в левой части этого уравнения
\[
\sin \delta=\delta-\frac{1}{6} \delta^{3} .
\]

В правой части положим $\sin \delta=\delta$ (это значит, что мы пренебрегли величиной $e \delta^{3}$ по сразнению с $\delta^{3}$ ) и проделаем обычные для квазилинейной теории преобразования, переписав уравнение (8.67) в следующем виде:
\[
\frac{d^{2} \delta}{d \theta^{2}}+\omega^{2} \delta=e\left(4 \sin \theta+2 \sin \theta \frac{d \delta}{d \theta}+\omega^{2} \delta \cos \theta+\alpha \delta^{3}\right) ;
\]

где
\[
\alpha=\frac{\omega^{2}}{e} .
\]

В этих предположениях система (8.70) запишется так:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=-\frac{e}{\omega}\left\{4 \sin \theta \sin (\theta+z)-2 \omega x \sin \theta \sin ^{2}(\theta+z)+\right. \\
\left.+\omega^{2} x \cos \theta \cos (\theta+z) \sin (\theta+z)+\alpha x^{3} \cos ^{3}(\theta+z) \sin (\theta+z)\right\}, \\
\frac{d z}{d \tau}=-\frac{e}{\omega x}\{4 \sin \theta \cos (\theta+z)- \\
-2 \omega x \sin \theta \sin (\theta+z) \cos (\theta+z)+\omega^{2} x \cos \theta \cos ^{2}(\theta+z)+ \\
\left.+\alpha x^{3} \cos ^{4}(\theta+z)\right\}+e h .
\end{array}\right\}
\]

После усреднения системы (8.72) мы получим следующий аналог системы (8.71):
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=-\frac{2 e}{\omega} \cos z, \\
\frac{d z}{d \tau}=-\frac{2 e}{\omega x}\left(\sin z+\frac{3}{8} \alpha x^{3}\right)+e h .
\end{array}\right\}
\]

Система (8.73), в отличие от системы (8.71), допускает стационарные режимы и при нулевой расстройке $h=0$ :
I. $z=\frac{\pi}{2}, \quad x=-\sqrt[3]{\frac{8}{3 \alpha}}$.
II. $z=-\frac{\pi}{2}, \quad x=\sqrt[3]{\frac{8}{3 \alpha}}$.

Итак, один случай, когда уравнение (8.65) может быть исчерпывающим образом изучено методами асимптотической теории, – это случай малых эксцентриситетов ( $e \ll 1$ ). В классической литературе по астрономии подробно изучен случай $e=0$. Случай малых эксцентриситетов орбиты, как показал впервые, по-видимому, В. В. Белецкий, не обнаруживает никаких новых качественных особенностей. Учет эксцентричности орбиты несколько изменяет характер параметров колебательного движения орбиты, не изменяя в сущности основного характера движения. Так, например, в случае $e=0$ устойчивым будет то положение тела, при котором его наибольшая ось инерции коллинеарна радиусу-вектору. В случае $e \ll 1$ устойчивым является то положение равновесия, при котором наибольшая ось инерции коллинеарна радиусу-вектору центра инерции в апогее и перигее. Во всех остальных типсх орбиты ось будет составлять некоторый малый угол с радиусом-вектором. Этот результат справедлив, разумеется, только для малых значений эксцентриситета. Изложенная теория без каких-либо принципиальных трудностей может изучить случай произвольных углов $\delta$, однако при одном условии малости эксцентриситета.
Ф. Л. Черноусько обратил внимание, что асимптотические методы усреднения могут быть использованы еще в одном случае, когда $a^{\prime} \ll 1$. В этом случае собственные колебания тела происходят с очень малой частотой. Если период этих колебаний значительно больше периода обращения тела по орбите, то за время одного обхода орбиты ориентация тела в пространстве существенно не изменится. Это обстоятельство и используется для построения асимптотической теории.

Случай $a \ll 1$ не содержит ограничений на величину эксцентриситета. В рамках такого рассмотрения могут быть изучены колебания тела, летящего по очень вытянутой эллиптической орбите. Исследование этого случая позволяет обнаружить целый ряд новых свойств движения, качественно отличающих его от случая малых эксцентриситетов, который был изучен выше. Например, если $e>e_{0}=0,68$, то устойчивым положением равновесия оказывается то, при котором в перигее и апогее наибольшая ось инерции перпендикулярна радиусу-вектору. Изложение этой интересной работы выходит далеко за рамки данной книги. За подробностями мы отсылаем читателя к оригиналу*).

Мы изложили несколько примеров, показывающих эффективность применения методов угреднения в задачах динамики
*) Ф. Л. Черноусько, Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс, Журнал вытислительной математики и математической физики, т. 3, № 3 (1963), 528-538.

космических аппаратов. Число этих примеров легко умножить. Но уже изложенного достаточно для того, чтобы продемонстрировать возможности используемого математического аппарата.