Перейдем теперь к изучению тех движений системы (7.1), которые изображаются незамкнутыми фазовыми траекториями. Они соответствуют большим значениям начальной энергии.

Рассмотрим \”нова рис. 28 и какую-либо из кривых, описывающих врацатетьное движение. Она пересекает ось $O \dot{z}$ в точке $\dot{z}=\Omega$, и фазовая т”ектория, соответствующая этому уровню энергий, представля : собой волнообразную кривую, лежащую в окрестности прямой $\dot{z}=\Omega$. Поэтому в уравнении (7.1) естественно сделать замену переменных
\[
\frac{d z}{d t}=\Omega+x .
\]

Положим еще $t=\varepsilon s$, где $\varepsilon=1 / \Omega$. Тогда уравнение (7.7) будет приведено к системе двух уравнений первого порядка
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{\prime}=-\varepsilon f(z), \\
z^{\prime}=1+\varepsilon x,
\end{array}\right\}
\]

где принято обозначение $\varphi^{\prime}=d \varphi / d s$. Эта система уравнений относится к рассматриваемому типу уравнений: она содержит одну медленно изменяющуюся переменную – угловую скорость вращения $x$ и одну быстро изменяющуюся переменную $z$, которую можно интерпретировать как угол между нитью маятника и некоторой прямой, фиксированной в пространстве. Кроме того, правые части являются периодическими функциями «быстрой» переменной $z$. Таким образом, для изучения системы (7.8) могут быть использованы методы, развитые в этой главе.

Для системы (7.1) условимся рассматривать следующую задачу Коши:
\[
\text { при } t=0: \quad \frac{d z}{d t}=Q, \quad z=0
\]

или
\[
\text { при } t=0: \quad x=0 \quad z=0 .
\]

Так как система (7.1) не содержит явно времени, то рассмотрение такой специальной задачи Коши не ограничивает общности. Если мы найдем ее решение
\[
z=z(t, \Omega)
\]

то общий интеграл уравнения (7.1) запишется в форме
\[
z=z\left(t+t_{0}, \Omega\right),
\]

где $\Omega$ и $t_{0}$ – произвольные постоянные.