Мы рассмотрели колебания маятника, у которого возвращающая сила. с течением времени стремится з нулю, и установили, что это обстоятельство может служить причиной неустойчивости (неограниченного возрастания амплитуды). Однако неограниченное возрастание амплитуды может иметь место и для колебаний такого маятника, у которого интенсивность возвращающей силы ограничена снизу для любого момента времени.
Рассмотрим пример маятника, колебание которого описывается уравнением
\[
\ddot{x}+(1+\varphi(t)) x=0 .
\]
Поставим вопрос о том, какие условия надо наложить на функцию $\varphi(t)$, чтобы решение уравнения (3.8) было ограничено.
Қажется, что для этого достаточно, например, потребовать, чтобы
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=0 .
\]
Однако это предположение неверно. Более того, если одновременно с условием (3.9) выполнено еще условие
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{d^{k} \varphi}{d t^{k}}=0 \quad(k \geqslant 1),
\]
то и это не является гарантией ограниченности решения уравнения (3.8).
Предположим, что $\varphi(t)$ имеет вид
\[
\varphi=3 g \sin t-\dot{g} \cos t-g^{2} \cos ^{2} t,
\]
где $g(t)$ — произвольная функция. Нетрудно убедиться прямым вычислением, что функция
\[
x=\exp \left\{\int_{0}^{t} g(\tau) \cos \tau d \tau\right\} \cos t
\]
является решением уравнения (3.8), если $\varphi$ имеет вид (3.11). Колебательный процесс (3.12) можно записать в виде
\[
x=A(t) \cos t,
\]
где
\[
A=\exp \int_{0}^{t} g(\tau) \cos \tau d \tau .
\]
Величину $A(t)$ будем называть амплитудой.
Примем теперь, что
\[
g(t)=\frac{\cos t}{t} .
\]
Тогда амплитуда имеет вид
\[
A=\exp \int_{0}^{t} \frac{\cos ^{2} \tau}{\tau} d \tau .
\]
Но величина интеграла в выражении (3.13) неограниченно растет вместе с верхним пределом.
Примечание. Заметим, что в рассмотренном примере не только сама функция $\varphi \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, но и любая ее производная стремится к нулю при неограниченном возрастании времени.
Можно привести еще целый ряд подобных примеров. Особенно интересен пример математического маятника, у которого точка подвеса колеблется по периодическому закону. Движение этого маятника описывается уравнением
\[
\ddot{x}+\left(\omega^{2}+\varepsilon \cos p t\right) x=0,
\]
где $\omega=$ const, $p$-частота, а $\varepsilon$-амплитуда колебаний точки подвеса маятника.
Уравнение (3.14) называется уравнением Матье. Его теория значительно сложнее теории тех уравнений, которые были рассмотрены в этом параграфе. Здесь мы не можем рассмотреть уравнение Матье и за всеми подробностями отсылаем читателя к тем руководствам, где изложена теория этого уравнения *): Здесь мы укажем только на одно из замечательных свойств колебаний этого маятника.
При определенных соотношениях между величинами $\varepsilon, p$ и колебания маятника (3.14) устойчивы. Они происходят с ограниченной амплитудой. Однако при фиксированном $\omega$ существует счетное число областей в плоскости ( $\varepsilon, p$ ), каждая точка которых определяет такое соотношение параметров маятника, при котором его колебания неустойчивы, т. е. происходят с неограниченно возрастающей амплитудой.
