Будем рассматривать систему уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon X(x, y, \varepsilon), \\
\dot{y}=\omega(x)+\varepsilon Y(x, y, \varepsilon),
\end{array}\right\}
\]
где $x$ — вектор размерности $n ; y$ — вектор размерности $m ; X$ и $Y$ — периодические функции $y$. Ограничимся изучением только первого приближения и предположим сначала, что мы имеем дело с нерезонансным случаем. Тогда вектор $x$ удовлетворяет системе уравнений первого приближения
\[
\dot{x}=\varepsilon \bar{X}(x, \varepsilon),
\]
причем усреднение производится по всем компонентам вектора $y$ независимо друг от друга. Таким образом, медленные переменные в нерезонансном случае удовлетворяют системе дифференциальных уравнений первого порядка.
(Черточки над переменными в уравнениях (6.2) мы не ставим, так как в рамках первого приближения $x=\bar{x}$.)
Предположим теперь, что мы имеем дело с резонансным случаем. В предыдущем параграфе было показано, что тогда число медленных переменных возрастает. Так, например, если размерность вектора $y$ равна 2 , то размерность вектора медленных переменных возрастает на 1. Во всяком случае, и в условиях резонанса задача в первом приближении сводится к исследованию системы уравнений типа (6.2). Только в качестве вектора $x$ здесь будет выступать вектор большей размерности: его компонентами, помимо компонент вектора $x$ из уравнений (6.1), будут также величины, характеризующие сдвиг фаз.
В прикладных задачах обычно основной интерес представляет изучение «медленных» переменных и закон изменения частоты «быстрых» переменных. Для этой цели достаточно изучать только систему усредненных уравнений (6.2).
Итак, мы будем изучать систему (6.2). Условимся называть ее стационарной точкой $x^{*}$ корень уравнения
\[
\vec{X}\left(x^{*}, \varepsilon\right)=0 .
\]
Значение координаты $x=x^{*}$ иногда будем называть стационарной амплитудой, так как при изучении колебательных процессов амплитуда является одной из медленных переменных.
В случае стационарной точки «быстрая» переменная $y^{*}$ будет являться «равномерно вращающейся фазой». В самом деле, в этом случае $\dot{y}^{*}=$ const и, следовательно,
\[
y^{*}=y_{0}+\left[\omega\left(x^{*}\right)+\varepsilon \bar{Y}\left(x^{*}, \varepsilon\right)\right] t=y_{0}+\Omega t,
\]
где
\[
\Omega=\omega\left(x^{*}\right)+\varepsilon \bar{Y}\left(x^{*}, \varepsilon\right)=\Omega\left(x^{*}\right) .
\]
Введенная терминология, как мы это видели при изложении метода Ван-дер-Поля, оправдана тем, что все используемые понятия (так же, как и метод) возникли из теории колебаний.
Определение стационарных состояний сводится к решению системы трансцендентных уравнений. Система этих уравнений может не иметь корней — это значит, что система (6.1) не имеет стационарных точек. Система (6.3) может иметь конечное или бесконечное число решений, а также может удовлетворяться и тождественно. Последнее означает, что любое из состояний системы (6.1) стационарное. С этим явлением мы сталкиваемся всякий раз, когда изучаемая система является консервативной.
