Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В качестве примера рассмотрим систему, которая описывается уравнением Ван-дерПоля
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=\varepsilon \beta \cos t+\left(\alpha-\gamma^{2} x^{2}\right) \dot{x},
\]
и изучим ее колебания под действием внешних периодических сил. Условимся рассматривать резонансные колебания, т. е. предположим, что выполнено условие
\[
\omega^{2}=1-\varepsilon \delta \text {. }
\]
Решение порождающего уравнения для этой системы имеет вид (7.18), где постоянные $M$ и $N$ определяются из уравнений (7.21),
*) См., например, А. П. Проскуряков, Периодические решения нелинейных систем в виде рядов по дробным степеням параметра, ПММ, т. XXV, в. 5 (1961).
которые в данном случае принимают следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
P(M, N)=M \delta+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left[\alpha-\gamma^{2}(M \cos t+N \sin t)^{2}\right] \times \\
\times[-M \sin t+N \cos t] \cos t d t=0, \\
Q(M, N) \equiv N \delta+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left[\alpha-\gamma^{2}(M \cos t+N \sin t)^{2}\right] \times \\
\times[-M \sin t+N \cos t] \sin t d t=0 .
\end{array}
\]
Проводя очевидные выкладки, мы придем к следующей системе двух кубических уравнений:
\[
\left.\begin{array}{r}
\beta+M \delta+N\left[\alpha-\frac{\gamma}{4}\left(M^{2}+N^{2}\right)\right]=0, \\
N \delta-M\left[\alpha-\frac{\gamma}{4}\left(M^{2}-N^{2}\right)\right]=0 .
\end{array}\right\}
\]
В уравнении (7.30) сделаем замену
\[
M=A \cos \varphi, \quad N=A \sin \varphi .
\]
Физический смысл величины $A$ очевиден – это амплитуда порождающего решения. Таким образом, нас интересуют только положительные значения этой величины.
После замены (7.31) уравнение (7.30) примет вид
\[
\begin{array}{l}
A\left\{\delta \cos \varphi+\sin \varphi\left(\alpha-\frac{\gamma^{2}}{4} A^{2}\right)\right\}=-\beta, \\
A\left\{\delta \sin \varphi-\cos \varphi\left(\alpha-\frac{\gamma^{2}}{4} A^{2}\right)\right\}=0 .
\end{array}
\]
Возводя в квадрат и складывая эти уравнения, мы исключим фазу $\varphi$
\[
A^{2}\left\{\delta^{2}+\left(\alpha-\frac{\gamma}{4} A^{2}\right)^{2}\right\}=\beta^{2} .
\]
Таким образом, величина $A^{2}$ удовлетворяет кубическому уравнению. Так как кубическое уравнение имеет всегда хотя бы один корень, то система Ван-дер-Поля допускает по крайней мере один резонансный режим (исключая те сочетания параметров $\alpha$, $\beta, \gamma$ и $\delta$, при которых уравнение (7.32) имеет кратные корни). Может оказаться, в частности, что уравнение (7.32) имеет три действительных корня. В этом случае в системе (7.29) возможно существование трех резонансных режимов. Исследование этих вопросов требует более детального анализа уравнения (7.32).
