Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В качестве примера рассмотрим задачу о движении космического аппарата под действием трансверсальной тяги. Предположим дополнительно, что начальная орбита космического аппарата была круговой. В предыдущем параграфе было показано, что уравнение, определяющее изменение радиуса орбиты $A$, после осреднения примет вид (см. (8.28)).
\[
\frac{d A}{d \varphi}=2 \varepsilon f A^{3}
\]
где $\varepsilon f$-тяга двигателя. Во все время эволюции орбита (как это было показано) в первом приближении остается круговой.
Поставим следующую вариационную задачу: определить управление – функцию $f(\varphi)$, которая переводит аппарат с орбиты, радиус которой $A_{0}$, на орбиту радиуса $A^{*}$, за время, в течение которого аргумент $\varphi$ изменится на $\varphi_{T}$, причем управление $f(\varphi)$ должно доставить минимум функционалу
\[
I=\varepsilon \int_{0}^{\varphi^{2}} f^{2} d \varphi .
\]
Составим функцию Гамильтона $H$
\[
H=2 \varepsilon f A^{3} p-\varepsilon f^{2}
\]
гле $p$-множитель Лагранжа, удовлетворяющий уравнению
\[
\frac{d p}{d \varphi}=-\frac{\partial H}{\partial A}=-6 \varepsilon f A^{2} p .
\]
Из условия максимума функции $H$ находим управление
\[
f=A^{3} p .
\]
Рассмотрим теперь уравнення (9.19) и (9.21). Из этих уравнений легко находим
\[
\frac{d p}{d A}=-\frac{3 p}{A},
\]
откуда
\[
p=\frac{c}{A^{3}},
\]
где $c$ – некоторая постоянная: $c=(p(\varphi))_{\varphi=0}$. Подставляя полученное выражение в $(9.22)$, находим
\[
f=c \text {. }
\]
Итак, оптимальное управление в этом случае постоянно. Постоянная $c$ определяется из условия
\[
(A(\varphi))_{\varphi=\varphi}=A^{*} .
\]
Интегрируя уравнение (9.19), находим
\[
A^{*}=\frac{A_{0}}{\sqrt{1-\varepsilon f A_{0}^{2} \varphi_{T}}},
\]
откуда получаем окончательно
\[
f=\frac{A^{* 2}-A_{0}^{2}}{\varepsilon A_{0}^{2} A^{* 2} \varphi_{T}} .
\]
Этот пример имел своей целью показать, что использование усредненных уравнений позволяет в отдельных случаях получить решение в явном виде. Этот пример очень прост и результат тривиален. Однако тем же приемом может быть рассмотрен и целый ряд более сложных задач. Некоторые из них приведены в монографии В. Н. Лебедева, цитированной выше на стр. 249.
