Рассмотрим систему (2.1), не делая сначала никаких предположений о природе коэффициентов $a_{i j}(t)$, кроме предположения об их периодичности по $t$.

Пусть $x(t)$ и $y(t)$ – решение системы (2.1), удовлетворяющее следующим данным Коши:
\[
x(0)=x_{0}, \quad y(0)=y_{0} .
\]

Для того чтобы это решение было периодическим с периодом $2 \pi$, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям:
\[
x(2 \pi)=x_{0}, \quad y(2 \pi)=y_{0} .
\]

Очевидно, что условия (2.3) необходимы, так как функция называется периодической, если она удовлетворяет условиям
\[
x\left(t_{0}+2 \pi\right)=x\left(t_{0}\right), \quad y\left(t_{0}+2 \pi\right)=y\left(t_{0}\right),
\]

каково бы не было $t_{0}$. Условия (2.3) являются частным случаем $\left(2.3^{\prime}\right)$ при $t_{0}=0$. Эти условия являются также и достаточными. В самом деле, правые части системы (2.1) – периодические функции времени периода $2 \pi$ и, следовательно, они инвариантны относительно замены переменного $t \rightarrow t^{\prime}+2 \pi$, тогда в силу (2.3) по $t$ и $t^{\prime}$ мы будем иметь одну и ту же задачу Коши и, следовательно,

или
\[
x\left(t^{\prime}\right)=x(t) ; \quad y\left(t^{\prime}\right)=y(t)
\]
\[
x\left(t^{\prime}+2 \pi\right)=x\left(t^{\prime}\right) ; \quad y\left(t^{\prime}+2 \pi\right)=y\left(t^{\prime}\right) .
\]

Так как это равенство справедливо для любых $t^{\prime}$, то оно совпадает с $\left(2.3^{\prime}\right)$ и, следовательно, функции $x(t)$ и $y(t)$ – периодические.

Предположим далее, что система фундаментальных решений системы (2.2) нам известна. Обозначим эти функции через $x_{1}$, $x_{2}, y_{1}$ и $y_{2}$ и решение системы (2.1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, полагая
\[
x=A x_{1}+B x_{2}, \quad y=A y_{1}+B y_{2},
\]

где $A$ и $B$ – некоторые функции времени, подлежащие определению.

Подставим выражения (2.4) в (2.1). Принимая во внимание, что функции $x_{1}, x_{2}, y_{1}$ и $y_{2}$ удовлетворяют системе (2.2), мы получим следующие уравнения для определения функций $A$ и $B$;
\[
\dot{A x_{1}}+\dot{B x_{2}}=F_{4}, \quad \dot{A y_{1}}+\dot{B} y_{2}=F_{2}
\]

откуда
\[
\left.\begin{array}{l}
A=\int_{0}^{t} \frac{F_{1} y_{2}-F_{2} x_{2}}{\Delta} d t+C, \\
B=\int_{0}^{t} \frac{F_{2} x_{1}-F_{1} y_{1}}{\Delta} d t+D
\end{array}\right\}
\]

где $C$ и $D$ – новые произвольные постоянные, а $\Delta$ – определитель Вронского
\[
\Delta=\left|\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}
\end{array}\right| .
\]

Постоянные $C$ и $D$ определяются из начальных условий $x=x_{0}$, $y=y_{0}$ при $t=0$. Так как интегральные слагаемые в выражениях (2.5) при $t=0$ обращаются в нуль, то постоянные $C$ и $D$ определяются из уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
C x_{1}(0)+D x_{2}(0)=x_{0} \\
C y_{1}(0)+D y_{2}(0)=y_{0}
\end{array}\right\}
\]

Используя полученные выражения, выпишем теперь условия периодичности (2.3)
\[
\left.\begin{array}{r}
x_{1}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{1} y_{2}-F_{2} x_{2}}{\Delta} d t+x_{2}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{2} x_{1}-F_{1} y_{1}}{\Delta} d t+ \\
+C x_{1}(2 \pi)+D x_{2}(2 \pi)=x_{0}, \\
y_{1}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{1} y_{2}-F_{2} x_{2}}{\Delta} d t+y_{2}(2 \pi) \int_{0}^{2 \pi} \frac{F_{2} x_{1}-F_{1} y_{1}}{\Delta} d t+ \\
+C y_{1}(2 \pi)+D y_{2}(2 \pi)=y_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Для того чтобы система (2.1) допускала периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы функции $F_{1}$ и $F_{2}$ удовлетворяли условиям (2.7).

Изучим теперь эти условия для некоторых специальных случаев.