Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Рассмотрим систему уравнений второго порядка
\[
\ddot{z}_{i}+F_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]
в квазилинейной постановке, предполагая, что точка $z_{i}=0$ является устойчивым положением равновесия. Для этого можно, например, сначала линеаризовать систему (5.50) и вычислить ее главные координаты, которые существуют в силу принятых предположений. Эти величины будут линейными комбинациями переменных $z_{i}$
\[
\xi_{i}=\Sigma \alpha_{i j} z_{j}
\]
Приняв величины $\xi_{i}$ в качестве новых переменных, мы получим уравнения следующего вида:
\[
\ddot{\xi}_{i}+\omega_{i}^{2 \xi_{i}}=\varepsilon \varphi\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]
В системе (5.51) произведем преобразование Ван-дер-Поля
\[
z_{i}=x_{i} \cos y_{i}, \quad \dot{z}_{i}=-x_{i} \omega_{i} \sin y_{i},
\]
и тогда эта система уравнений заменится следующей:
\[
\left.\begin{array}{r}
\dot{x}_{i}=-\frac{\varepsilon}{\omega_{i}} \varphi_{i}\left(x_{1} \cos y_{1}, \ldots, x_{n} \cos y_{n} ;-x_{1} \omega_{1} \sin y_{1} \ldots\right) \sin y_{i}, \\
\Omega_{i} \equiv \dot{y}_{i}=\omega_{i}-\frac{\varepsilon}{\omega_{i} x_{i}} \varphi\left(x_{1} \cos y_{1}, \ldots, x_{n} \cos y_{n} ;-x_{1} \omega_{1} \sin y_{1}, \ldots\right. \\
\left.\ldots,-x_{n} \omega_{n} \sin y_{n}\right) \cos y_{i} .
\end{array}\right\}
\]
Система (5.52) относится к тому типу систем, которые изучались в этом параграфе. Если «собственные частоты» несоизмеримы, то для получения укороченных уравнений нам достаточно осреднить правые части этой системы по всем быстрым переменным $y_{1}, \ldots, y_{n}$.
Предположим, что функции $\varphi_{i}$ имеют вид
\[
\varphi_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)=\sum_{s, j} a_{s l}^{(1)} z_{s} z_{j}+\sum_{s, j, k} b_{s j k}^{(i)} z_{s} z_{j} z_{k} .
\]
Тогда нетрудно заметить, что уравнения первого приближения (укороченные уравнения) для системы (5.52) будут такими:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{i}=0, \\
\Omega_{i}=\omega_{i}-\frac{\varepsilon}{2 \omega x i}\left(\sum_{j
eq i} b_{i j j}^{(i)}+\sum_{j
eq i} b_{j i j}^{(i)}+\frac{3}{4} b_{i i i}^{(i)}\right) .
\end{array}
\]
Таким образом, любое колебательное движение будет происходить с постоянной амплитудой, а частота колебания каждой из координат никак не зависит (в этом приближении) от квадратичных членов разложения.
