Рассмотрим систему уравнений второго порядка
\[
\ddot{z}_{i}+F_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

в квазилинейной постановке, предполагая, что точка $z_{i}=0$ является устойчивым положением равновесия. Для этого можно, например, сначала линеаризовать систему (5.50) и вычислить ее главные координаты, которые существуют в силу принятых предположений. Эти величины будут линейными комбинациями переменных $z_{i}$
\[
\xi_{i}=\Sigma \alpha_{i j} z_{j}
\]

Приняв величины $\xi_{i}$ в качестве новых переменных, мы получим уравнения следующего вида:
\[
\ddot{\xi}_{i}+\omega_{i}^{2 \xi_{i}}=\varepsilon \varphi\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

В системе (5.51) произведем преобразование Ван-дер-Поля
\[
z_{i}=x_{i} \cos y_{i}, \quad \dot{z}_{i}=-x_{i} \omega_{i} \sin y_{i},
\]

и тогда эта система уравнений заменится следующей:
\[
\left.\begin{array}{r}
\dot{x}_{i}=-\frac{\varepsilon}{\omega_{i}} \varphi_{i}\left(x_{1} \cos y_{1}, \ldots, x_{n} \cos y_{n} ;-x_{1} \omega_{1} \sin y_{1} \ldots\right) \sin y_{i}, \\
\Omega_{i} \equiv \dot{y}_{i}=\omega_{i}-\frac{\varepsilon}{\omega_{i} x_{i}} \varphi\left(x_{1} \cos y_{1}, \ldots, x_{n} \cos y_{n} ;-x_{1} \omega_{1} \sin y_{1}, \ldots\right. \\
\left.\ldots,-x_{n} \omega_{n} \sin y_{n}\right) \cos y_{i} .
\end{array}\right\}
\]

Система (5.52) относится к тому типу систем, которые изучались в этом параграфе. Если «собственные частоты» несоизмеримы, то для получения укороченных уравнений нам достаточно осреднить правые части этой системы по всем быстрым переменным $y_{1}, \ldots, y_{n}$.
Предположим, что функции $\varphi_{i}$ имеют вид
\[
\varphi_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)=\sum_{s, j} a_{s l}^{(1)} z_{s} z_{j}+\sum_{s, j, k} b_{s j k}^{(i)} z_{s} z_{j} z_{k} .
\]

Тогда нетрудно заметить, что уравнения первого приближения (укороченные уравнения) для системы (5.52) будут такими:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{i}=0, \\
\Omega_{i}=\omega_{i}-\frac{\varepsilon}{2 \omega x i}\left(\sum_{j
eq i} b_{i j j}^{(i)}+\sum_{j
eq i} b_{j i j}^{(i)}+\frac{3}{4} b_{i i i}^{(i)}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, любое колебательное движение будет происходить с постоянной амплитудой, а частота колебания каждой из координат никак не зависит (в этом приближении) от квадратичных членов разложения.