Теорема Пуанкаре относится к числу основных результатов аналитической теории дифференциальных уравнений. Одновременно она имеет большое значение и для приложений, поскольку выясняет основные свойства уравнений в вариациях. В отдельных случаях она сама может являться источником эффективных вычислительных алгоритмов.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка
\[
\dot{x}=f(x, t, \varepsilon),
\]
где $x$-вектор размерности $n, t$ – скалярный аргумент время, а $\varepsilon$ – малый параметр. Предполагается, что функция $f$ является аналитической функцией переменной $x$ и параметра $\varepsilon$.
Для системы (5.1) поставим задачу Коши: определить функ. цию $x(t, \varepsilon)$, удовлетворяющую системе (5.1) и начальным условия м
\[
x\left(t_{0}\right)=x_{0} .
\]
Для того чтобы задача (5.2) для уравнения (5.1) имела смысл, нам нет необходимости требовать аналитичности по переменной $t$. Будем предполагать, что правая часть уравнения (5.1) удовлетворяет условиям, гарантирующим существование решения локальной задачи Коши. Например, пусть $f(x, t, \varepsilon)$ будет удовлетворять условию Липшица по переменному $x$. Наряду с уравнением (5.1) будем рассматривать уравнение
\[
\dot{z}=f(z, t, 0) .
\]
Уравнение (5.3) условимся называть порождающим. Для обоих уравнений будем рассматривать одну и ту же задачу Коши (5.2).
В уравнении (5.1) сделаем замену переменных
\[
x=z+y .
\]
Вектор $y$ будет удовлетворять уравнению
\[
\dot{y}=f(z+y, t, \varepsilon)-f(z, t, 0)
\]
и нулевым начальным условиям
\[
y(0)=0 .
\]
Так как правая часть уравнення (5.4) – аналитическая функция переменных $y$ и $\varepsilon$, то мы можем ее разложить в ряд Тейлора по этим переменным, считая их достаточно малыми по абсолютной величине. Это позволит нам переписать уравнение (5.4) в следующем виде:
\[
\dot{y}=A y+\varepsilon\left(\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right)_{0}+B(y, \varepsilon, t) .
\]
Здесь $A=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{0}$-квадратная матрица первых частных производных
\[
A=\left\|\left(\frac{\partial f^{i}}{\partial x^{j}}\right)_{0}\right\|
\]
$f^{i}$ и $x^{i}-i$-я компонента векторов $f$ и $x$ соответственно, $\left(\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right)_{0}$ вектор (матрица-столбец) с компонентами $\left(\frac{\partial f^{i}}{\partial \varepsilon}\right)_{0}, B(y, \varepsilon, t)$ совокупность членов более высокого порядка: разложение функции $B(y, \varepsilon, t)$ начинается со вторых степеней ее аргументов, $(F)_{0}$ обозначает, что значения функции $F(x, \varepsilon)$ вычислены при условии $x=z, \varepsilon=0$.
Будем считать, что решениє задачи Коши для порождающего уравнения известно. Тогда $A$ и $\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}$ будут известными функциями времени.
Будем искать решение уравнения (5.6) в виде ряда
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} y_{i} \varepsilon^{i} .
\]
Подставляя ряд (5.7) в уравнение (5.6) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра $\varepsilon$, получим следующую – систему уравнений для определения неизвестных функций $y_{i}$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{y}_{1}=A y_{1}+D_{1}, \\
\dot{y}_{2}=A y_{2}+D_{2}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\dot{y}_{k}=A y_{k}+D_{k}, \\
\text {. . . . . }
\end{array}\right\}
\]
В этих уравнениях $D_{1}=\left(\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}\right)_{0}$ – известная функция времени. Функция $D_{2}$ соддержит квадратичные члены разложения функции $B(y, \varepsilon, t)$ по $y$ и $\varepsilon$, т. е. в нее входит только функция $\mu_{1}$ и не входят функции $y_{i}$ для $i>1$. В самом деле, функцию $B(y, \varepsilon, t)$ можно представить в виде
\[
B(y, \varepsilon, t)=B_{00} y^{2}+B_{01} y \varepsilon+B_{11} \varepsilon^{2}+\ldots
\]
Подставляя в это выражение ряд (5.7), приведем его к виду
\[
B(y, \boldsymbol{\varepsilon}, t)=\boldsymbol{\varepsilon}^{2}\left(B_{00} y_{1}^{2}+B_{01} y_{1}+B_{11}\right)+\boldsymbol{\varepsilon}^{3}(\ldots)+\ldots
\]
Очевидно, что и любая функция $D_{k}$ зависит только от тех функций $y_{i}$, для которых $i<k$.
Таким образом, если решать последовательно уравнения (5.8), то функции $D_{k}$ следует считать известными функциями времени. Функции $y_{i}$ удовлетворяют нулевым начальным условиям
\[
y_{i}\left(t_{0}\right)=0 .
\]
Таким образом, определение коэффициентов разложения решения $y(t)$, т. е. функций $y_{i}(t)$, сводится к последовательному решению задач Коши для системы (5.8).
Теперь мы можем сформулировать теорему Пуанкаре. Она состоит из двух утверждений:
I. Если общий интеграл порождающей системь (5.3) известен, то решение системы (5.8) может быть найдено при помощи операций дифференцирования и взятия квадратур.
II. Решение уравнения (5.1)-аналитическая функция параметра \&, т. е. ряды (5.7) сходятся при достаточно малых по абсолютной величине значениях в и, следовательно, представляют собой интегралы уравнения (5.1), разложенные по степеням параметра в.
Будем называть некоторый ряд формальным решением, если он удовлетворяет системе дифференциальных уравнений. Этот ряд будем называть решением, если он сходится в некоторой области значений параметра. Таким образом, первая часть теоремы формулирует некоторые суждения о структуре алгоритма построения формального решения. Вторая часть теоремы утверждает, что формальное решение (5.7) является решением.
