Рассмотрим теперь уравнение (8.10). В предыдущем параграфе мы установили, что в рамках квазилинейной теории не удается построить резонансного решения уравнения (8.10). Это значит, что не существует решений вида (8.36). Попробуем теперь определить резонансные решения методом Малкина.

Для этого надо в первую очередь определить степень $r$ в разложении (8.37). Рассматривая предыдущее уравнение и повторяя вычисления предыдущего пункта, мы снова установим, что $r=1 / 3$. Итак, получим
\[
x=\mu^{1 / 3} x_{1}+\mu^{2 / 3} x_{2}+\mu x_{3}+\ldots
\]

Для членов разложения (8.44) мы получаем следующие уравнөния:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}+x_{1}=0, \\
\ddot{x}_{2}+x_{2}=\alpha x_{1}^{2}, \\
\ddot{x}_{3}+x_{3}=2 x_{1} x_{2}+\sin t \\
. . . . . . . .
\end{array}\right\}
\]

Из первого уравнения находим
\[
x_{1}=M_{1} \cos t+N_{1} \cdot \sin t .
\]

Тогда второе уравнение (8.45) примет вид
\[
\ddot{x}_{2}+x_{2}=\alpha\left\{M_{1}^{2} \cos ^{2} t+2 M_{1} N_{1} \cos t \sin t+N_{1}^{2} \sin ^{2} t\right\} .
\]

Разложение правой части в ряд Фурье имеет вид
\[
A_{0}\left(M_{1} ; N_{1}\right)+A\left(M_{1}, N_{1}\right) \cos 2 t+B\left(M_{1}, N_{1}\right) \sin 2 t,
\]

где
\[
A_{0}=\frac{\alpha}{2}\left(M_{1}^{2}+N_{1}^{2}\right), \quad A=\frac{\alpha}{2}\left(M_{1}^{2}-N_{1}^{2}\right), \quad B=\alpha M_{1} N_{1} .
\]

Таким образом, уравнение (8.46) допускает периодические решения при любых $M_{1}$ и $N_{1}$. Общее решение этого уравнения примет вид
\[
x_{2}=A_{0}-\frac{1}{3}[A \cos 2 t+B \sin 2 t]+M_{2} \cos t+N_{2} \sin t,
\]

где $M_{2}$ и $N_{2}$ – числа, которыми мы имеем право распоряжаться. Третье из уравнений (8.45) можно теперь переписать в форме
\[
\begin{array}{r}
\ddot{x}_{3}+x_{3}=\sin t+2\left(M_{1} \cos t+N_{1} \sin t\right)\left\{A_{0}-\frac{1}{3}(A \cos 2 t+B \sin 2 t)\right\}+ \\
+2\left(M_{1} \cos t+N_{1} \sin t\right)\left(M_{2} \cos t+N_{2} \sin t\right) .
\end{array}
\]

Так как разложение в ряд Фурье последнего слагаемого правой части уравнения (8.47) не будет содержать первых гармоник, то вопрос о существовании периодических решений уравнения (8.47) будет решаться независимо от величин $M_{2}$ и $N_{2}$.

Для существования периодических решений периода $2 \pi$ уравнения (8.47) необходимо и достаточно, чтобы разложение в ряд Фурье правой части уравнения (8.47) не содержало первых гармоник. Это дает два кубических уравнения относительно чисел $M_{1}$ и $N_{1}$. Они всегда имеют хотя бы одно действительное решение. Например, в одном из решений всегда $M_{1}=0$. Тогда
\[
N_{1}=\frac{1}{\sqrt{2 a}} .
\]

Итак, теория Малкина позволяет обнаружить периодические решения в тех случаях, когда при помощи квазилинейной теории этого сделать не удается.