Предыдущие параграфы этой главы содержали изложение способов, которые позволяют построить асимптотические представления для фундаментальных решений однородной системы и, следовательно, получить приближенное выражение общего интеграла однородной части этих уравнений. Мы можем построить частное решение неоднородной системы, следуя общему методу вариации произвольных постоянных. Применение такой процедуры приведет нас к необходимости вычисления квадратур.

Однако эта процедура может быть упрощена, если мы ограничимся отысканием приближенного решения в виде отрезка асимптотического ряда, расположенного по степеням малого параметра. Оказывается, что асимптотическое представление некоторого частного решения неоднородного уравнения (или системы уравнений) может быть найдено только при помощи одной операции дифференцирования.

Рассмотрим сначала случай одного уравнения второго порядка
\[
\ddot{y}+2 \lambda a \dot{y}+\lambda^{2} \omega^{2} y=\lambda s f(t) .
\]

Будем искать решение в виде ряда
\[
y=\lambda^{s-2} u_{0}+\lambda^{s-3} u_{1}+\ldots
\]

Подставляя ряд (4.2) в уравнение (4.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, сразу находим
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{0}=\frac{f}{\omega^{2}}, \\
u_{1}=-\frac{2 a \dot{u}_{0}}{\omega^{2}}, \\
u_{2}=-\frac{2 a \dot{u}_{1}+\ddot{u}_{0}}{\omega_{2}}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
u_{m}=-\frac{2 a \dot{u}_{r n-1}+\ddot{u}_{m-2}}{\omega^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Если речь идет об уравнении колебаний без демпфирования
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2} y^{\prime}=\lambda^{s} f(t),
\]

то частное решение можно записать в компактной форме
\[
y=\lambda^{s-2}\left\{\frac{f}{\omega^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2} \omega^{2}} \cdot \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\frac{f}{\omega^{2}}\right)+\frac{1}{\lambda^{4} \omega^{2}} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left[\frac{1}{\omega^{2}} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\frac{f}{\omega^{2}}\right)\right]-\ldots\right\} .
\]