Рассматриваемый пример является очень частныи случаем автоколебательных систем, имеющих одно положение равновесия и один определенный цикл. Существуют системы, значительно более сложные, например такие, которые имеют бесчисленное множество предельных циклов.

Математическая задача построения автоколебательных режимов в системах с одной степенью свободы сводится к отысканию возможных периодических решений уравнения
\[
\ddot{x}+f(x)=\varepsilon F(x, \dot{x}),
\]

где $\varepsilon$ — параметр. Функции $F$ и $f$ будем считать аналитическими функциями свонх переменных. В этой книге мы ограничимся изучением только тех периодических решений, которые при $\varepsilon=0$ переходят в периодические решения порождающего уравнения (5.1).

Если энергия системы достаточно мала, то, как мы знаем, любое решение системы (5.1) является периодическим. Но пример, рассмотренный в начале параграфа, показывает, что не всякое решение порождающего уравнения является «порождающим». В общем случае существуют только исключительные решения уравнения (5.1), которые являются пределом (при $\varepsilon=0$ ) периодических решений уравнения (5.5). Их то мы и будем называть порождающими. В рассмотренном примере существовало только единственное решение порождающего уравнения (5.1), характеризуемое параметром $c^{*}$, в окрестности которого существовали периодические решения уравнения (5.5).

Таким образом, задача, которая рассматривается в этом параграфе, состоит в том, что мы должны одновременно разыскать периодические решения уравнения (5.5) как функции времени и параметра $\varepsilon$ и те из периодических решений уравнения (5.1), в которые переходят периодические решения уравнения (5.5) при $\varepsilon \rightarrow 0$. Существует много методов решения этой задачи. В настоящем параграфе мы будем изучать метод, предложенный Пуанкаре. С некоторыми из других методов мы познакомимся позднее.