4°. Достаточные условия гладкости кривой

ТЕОРЕМА 1 (достаточные условия гладкости в точке). Пусть кривая L задана векторной функцией имеющей в некоторой окрестности значения непрерывную производную причем Тогда кривая L является гладкой кривой в точке отвечающей значению

Касательная к кривой L в точке существует в силу того, что Поэтому достаточно показать, что некоторая окрестность точки на кривой L однозначно проектируется на эту касательную.

Предположим, что это не так. Тогда существуют две различные последовательности такие, что разности ортогональны вектору По формуле Тейлора (3) с центром разложения при имеем

Вычитая получим следующее выражение для разности:

Умножим последнее равенство скалярно на Учитывая свойства -символа и ортогональность разности вектору после несложных преобразований получим, что

Так как при то левая часть последнего равенства есть в то время как правая — Полученног противоречие есть следствие предположения, что никакая окрестность точки на кривой L не может быть однозначно спроектирована на касательную в точке

Тем самым в точке существует касательная к кривой L и некоторая окрестность точки на кривой L однозначно проектируется на эту касательную. Значит, кривая L гладкая в точке М.

ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия гладкости кривой). Пусть кривая задана векторной функцией имеющей непрерывную производную Если для любого то кривая L гладкая.

Поскольку то согласно теореме 1 кривая L является гладкой в любой своей точке. Из условия и непрерывности следует непрерывность касательной к кривой Значит, гладкая кривая.