2°. Специальные системы координат
В дальнейшем нам понадобятся координатные системы, в которых коэффициенты 
обладают некоторыми полезными свойствами.
А. Покажем, что в окрестности произвольной точки 
всегда можно выбрать криволинейные координаты так, чтобы коэффициенты 
в этой точке обращались в нуль:
Пусть 
криволинейные координаты, заданные в окрестности фиксированной точки 
Для простоты вычислений будем считать, что точка 
имеет нулевые координаты: 
Введем в окрестности точки 
новые координаты 
посредством следующих формул:
Ясно, что 
Запишем формулы (4) в удобном для последующего виде:
(достаточно умножить обе части на 
и просуммировать по 
Вычислим в точке 
значения производных - и 
Продифференцируем равенства (5) по 
Отсюда в силу симметричности коэффициентов 
получаем, что
Найдем выражение для вторых производных.
Имеем
Полагая в формулах (7), (8) 
, получаем, что в точке 
Рассмотрим равенства (6) в точке 
При подстановке в них найденных выражений для производных приходим к следующим формулам:
Отсюда с учетом свойств символа Кронекера 
получаем, что
Покажем, что в окрестности произвольной точкй 
всегда можно выбрать систему координат 
так, что величины
в точке 
равны нулю:
Пусть 
координаты, заданные в окрестности точки 
Введем новые координаты 
при помощи следующих формул:
Нетрудно проверить, что в точке 
Вновь обратимся к формулам (6) преобразования символов Кристоффеля 
Найдем производную 
от левой и от правой частей соотношения (6):
левая часть
правая часть
Рассматривая последние два равенства в точке 
и учитывая формулы (11), получаем, что
Аналогично находим
Складывая последние три соотношения и замечая, что
приходим к требуемому равенству
