Главная > Дифференциальная геометрия: первое знакомство
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4°. Параллельный перенос тензоров

Операция параллельного переноса векторов в римановом пространстве важна в следующем отношении. Пусть в пространстве задано векторное поле. Возникает естественный вопрос: как сравнивать векторы этого поля в различных точках пространства в частности в близких точках? Дело в том, что возможность сравнения в близких точках позволит ввести понятие дифференциала векторного поля в римановом пространстве как главной линейной части приращения.

Такое сравнение проводится при помощи параллельного переноса. Вектор в точке можно сравнить с вектором в точке следующим образом.

Перенесем вектор из точки в точку параллельно вдоль кривой Получим в точке два вектора: и . Разность будем рассматривать как результат сравнения еекторов и в точках

Ясно, что результат параллельного переноса вектора в точку зависит от кривой Впрочем, о способе ее выбора можно договориться.

Пусть в пространстве задано тензорное поле.

Для сравнения тензоров этого поля в разных точках пространства необходимо ввести операцию параллельного переноса тензоров.

Обратимся к описанию соответствующей процедуры.

Перенесем базисные векторы касательного пространства определенные заданной системой координат в данной точке параллельно в близкую точку Рассмотрим в точке тензор с теми же компонентами относительно параллельно перенесенного базиса, что и у тензора в точке

В точке естественно возникают два базиса:

1) базис, параллельно перенесенный в точку и

2) базис, определяемый в точке заданной системой координат

Преобразуем первый из этих базисов во второй. При этом преобразованию подвергнутся и компоненты тензора. Будем

рассматривать приращения компонент тензора, получаемые в результате описанной процедуры как приращения его компонент при параллельном переносе.

Пусть базис касательного пространства в точке определяемый системой координат в окрестности точки пространства (см. 2°), и какой-нибудь другой базис в причем

Рассмотрим в точке тензор типа с компонентами относительно базиса Пусть компоненты тензора в базисе Тогда

где

Из соотношений (15) получаем, что

Пусть векторы параллельно переносятся вдоль некоторой кривой L в пространстве и произвольная точка этой кривой.

Определение. Будем говорить, что тензор переносится параллельно вдоль кривой если в каждой точке его компоненты сохраняют постоянное значение относительно параллельно переносимого базиса т. е.

Другими словами, в параллельно переносимом базисе мы имеем один и тот же тензор.

Свойство (17) будет сохраняться для любого базиса, ибо по свойствам параллельного перенесения векторов матрица перехода от одного базиса к другому при параллельном переносе не изменяется.

Вычислим дифференциалы левой и правой частей равенства (16) в точке

С учетом соотношений (17) получим

Так как векторы переносятся параллельно, то, согласно формуле (14), имеем

Будем считать, что базис в точке совпадает с базисом определяемым в этой точке системой координат Тогда

Последнее соотношение позволяет записать формулы (19) короче:

Подставим найденные выражения (20) и (21) для в равенство (18). Имеем

Перегруппировав слагаемые в последнем соотношении и изменив обозначения некоторых индексов суммирования, получим

Это формула для дифференциалов компонент тензора типа при параллельном переносе — формула параллельного переноса тензора.

Для общего случая — тензора типа формула параллельного переноса тензора имеет следующий вид:

1
Оглавление
email@scask.ru