4°. Параллельный перенос тензоров

Операция параллельного переноса векторов в римановом пространстве важна в следующем отношении. Пусть в пространстве задано векторное поле. Возникает естественный вопрос: как сравнивать векторы этого поля в различных точках пространства в частности в близких точках? Дело в том, что возможность сравнения в близких точках позволит ввести понятие дифференциала векторного поля в римановом пространстве как главной линейной части приращения.

Такое сравнение проводится при помощи параллельного переноса. Вектор в точке можно сравнить с вектором в точке следующим образом.

Перенесем вектор из точки в точку параллельно вдоль кривой Получим в точке два вектора: и . Разность будем рассматривать как результат сравнения еекторов и в точках

Ясно, что результат параллельного переноса вектора в точку зависит от кривой Впрочем, о способе ее выбора можно договориться.

Пусть в пространстве задано тензорное поле.

Для сравнения тензоров этого поля в разных точках пространства необходимо ввести операцию параллельного переноса тензоров.

Обратимся к описанию соответствующей процедуры.

Перенесем базисные векторы касательного пространства определенные заданной системой координат в данной точке параллельно в близкую точку Рассмотрим в точке тензор с теми же компонентами относительно параллельно перенесенного базиса, что и у тензора в точке

В точке естественно возникают два базиса:

1) базис, параллельно перенесенный в точку и

2) базис, определяемый в точке заданной системой координат

Преобразуем первый из этих базисов во второй. При этом преобразованию подвергнутся и компоненты тензора. Будем

рассматривать приращения компонент тензора, получаемые в результате описанной процедуры как приращения его компонент при параллельном переносе.

Пусть базис касательного пространства в точке определяемый системой координат в окрестности точки пространства (см. 2°), и какой-нибудь другой базис в причем

Рассмотрим в точке тензор типа с компонентами относительно базиса Пусть компоненты тензора в базисе Тогда

где

Из соотношений (15) получаем, что

Пусть векторы параллельно переносятся вдоль некоторой кривой L в пространстве и произвольная точка этой кривой.

Определение. Будем говорить, что тензор переносится параллельно вдоль кривой если в каждой точке его компоненты сохраняют постоянное значение относительно параллельно переносимого базиса т. е.

Другими словами, в параллельно переносимом базисе мы имеем один и тот же тензор.

Свойство (17) будет сохраняться для любого базиса, ибо по свойствам параллельного перенесения векторов матрица перехода от одного базиса к другому при параллельном переносе не изменяется.

Вычислим дифференциалы левой и правой частей равенства (16) в точке

С учетом соотношений (17) получим

Так как векторы переносятся параллельно, то, согласно формуле (14), имеем

Будем считать, что базис в точке совпадает с базисом определяемым в этой точке системой координат Тогда

Последнее соотношение позволяет записать формулы (19) короче:

Подставим найденные выражения (20) и (21) для в равенство (18). Имеем

Перегруппировав слагаемые в последнем соотношении и изменив обозначения некоторых индексов суммирования, получим

Это формула для дифференциалов компонент тензора типа при параллельном переносе — формула параллельного переноса тензора.

Для общего случая — тензора типа формула параллельного переноса тензора имеет следующий вид: