7°. Еще раз о параллельном переносе тензоров

Мы подошли к понятию абсолютного дифференцирования тензоров геометрическим путем. В основу были положены привычные идеи введения понятий производной и дифференциала скалярного и векторного полей.

Можно поступить и несколько иначе, встав на формальный путь. Именно, можно ввести абсолютный дифференциал тензорного поля при помощи формулы (26), развить технику абсолютного дифференцирования, а затем определить параллельное

перенесение тензора вдоль произвольной кривой посредством условия

Тем самым тензор, заданный в каждой точке некоторой кривой, параллельно переносится вдоль нее, если абсолютный дифференциал этого тензора в любой точке данной кривой равен нулю.

Такой формальный подход к понятию параллельного переноса, разумеется, равносилен нашему прежнему подходу. Он имеет ряд преимуществ, особенно при проведении выкладок. Например, легко убедиться в справедливости следующего утверждения.

ТЕОРЕМА 3. Линейная комбинация и произведение параллельно переносимых тензоров переносятся параллельно.

Пусть тензоры переносятся параллельно вдоль заданной кривой, т. е. в каждой ее точке

Тогда и их произведение

переносится параллельно: