2°. Топологическое пространство

Обратимся теперь к общему случаю.

Пусть — произвольное множество. Его элементы будем называть точками.

Обозначим через

семейство его подмножеств подчиненное следующим условиям: семейству принадлежат

1. Само множество

2. Пустое множество 0.

3. Пересечение двух множеств из семейства

4. Объединение любого числа множеств из семейства

Семейство подмножеств с указанными свойствами всегда существует, и как правило, не одно.

Определение. Семейство подмножеств множества удовлетворяющее условиям 1—4, называется топологией на множестве

Множество вместе с семейством называется топологическим пространством и обозначается через часто просто через

Пример 1. Открытые множества из пункта 1° задают топологию в пространстве она называется естественной.

Множества из семейства называют открытыми множествами (по аналогии с рассмотренным выше случаем

Пример 2. Введем на плоскости топологию, отличную от естественной.

Пусть О — фиксированная точка лучи, исходящие из точки О. Часть плоскости, лежащую между лучами исключая точки на самих лучах, будем называть открытым углом с вершиной О (рис. 2).

Открытым назовем всякое множество, которое можно представить в виде объединения открытых углов с вершиной О.

Нетрудно проверить, что тем самым на плоскости вводится топология; она называется конической.

Другой важный класс множеств образуют замкнутые множества.

Определение. Подмножество топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Пример 3. Множество

является замкнутым подмножеством пространства его дополнение

открыто.

Свойства замкнутых множеств.

1+. Пустое множество 0 замкнуто.

2+. Само множество замкнуто.

3+. Объединение двух замкнутых множеств замкнуто.

4+. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

Пусть произвольное подмножество топологического пространства

Рассмотрим всевозможные содержащиеся в нем открытые множества. Их объединение (оно является открытым множеством), называется внутренностью множества

Обозначение:

Пересечение всевозможных замкнутых множеств, содержащих (оно также является замкнутым), называется замыканием множества

Обозначения:

Множество

называется границей множества

Пример 4. Рассмотрим на плоскости множество

Тогда

— открытый квадрат,

— замкнутый квадрат, границу образуют стороны квадрата (рис. 3).

Рис. 3. Множество ни открыто ни замкнуто

Рис. 4. Определение непрерывности функции

Пусть произвольная точка топологического пространства

Определение. Окрестностью точки х называется всякое открытое множество, содержащее эту точку.

Открытое множество является окрестностью каждой своей точки.