§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО МНОГООБРАЗИЮ
1°. Ориентация многообразия
Пусть 
гладкое многообразие.
Определение. Карты 
и 
многообразия 
называются согласованными, если якобиан координатного преобразования
положителен —
Атлас многообразия называется ориентированным, если любые две его карты согласованы.
Многообразие называется ориентируемым, если у него есть ориентируемый атлас.
ТЕОРЕМА 6. Если связное многообразие ориентируемо, то оно допускает ровно две ориентации (рис. 35).
Рис. 35. Ориентируемое многообразие допускает ровно две ориентации
Выбор одной из ориентаций делает многообразие ориентированным.
Примером ориентируемого многообразия может служить сфера 
Атлас из карт 
ориентирован: якобиан координатного преобразования
положителен —
Примером неориентируемого многообразия является, например, лист Мебиуса.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если многообразие ориентируемо, то любой его атлас можно сделать ориентированным.
