5°. Геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения синус-Гордона

Для уяснения геометрических свойств решений уравнения синус-Гордона на всей плоскости рассмотрим конкретный пример — псевдосферу. Это поверхность, получаемая вращением трактрисы вокруг ее асимптоты. Трактриса характеризуется следующим свойством: это плоская кривая, длина отрезка касательной которой от точки касания до некоторой прямой постоянна. Выберем прямую за ось а постоянную положим равной 1. Тогда параметрические уравнения трактрисы в системе координат можно записать так:

а параметрические уравнения псевдосферы будут иметь следующий вид:

Значениям отвечает верхняя полость псевдосферы, значениям — -нижняя полость, а значению ребро возврата (рис. 9).

Рис. 9. Псевдосфера

Поскольку угол поворота плоскости в которой лежит трактриса, и при вращении этой плоскости вокруг оси этот угол изменяется от до то плоскость совершает бесконечно много оборотов и, значит, параметрические уравнения (27) представляют собой параметрические уравнения бесконечной обмотки псевдосферы — ее универсальной накрывающей.

Отметим важное обстоятельство: функции, входящие в параметрические уравнения (27), в области задания параметров и и представляют собой аналитические функции. Однако для регулярности поверхности этого недостаточно: рассматриваемая поверхность имеет особенность — ребро возврата, отвечающее значению Для объяснения обратимся к частным производным функций определяемых формулами (27). Имеем

При и любом получаем, что

т. е. радиус-вектор поверхности имеет при равную производную Тем самым в точках ребра (это условие будет выполняться при любом другом выборе параметров на псевдосфере).

Вычислим первую и вторую квадратичные формы псевдосферы. Имеем

значения и берутся по абсолютной величине, что отвечает выбору внешней нормали псевдосферы и для верхней и для нижней ее полостей).

Эти формулы справедливы для всех значений параметров, кроме

Кривизна псевдосферы равна —1.

Асимптотические линии определяются из соотношения Вытекающие из него уравнения

справедливы для всех значений и, заключенных между нулем и , включая Интегрируя эти дифференциальные уравнения, получаем уравнения асимптотических линий псевдосферы:

В частности, для из соотношений (31) находим:

Тем самым параметр может принимать любые значения. Точка,

отвечающая значениям принадлежит одновременно и асимптотической линии 1-го семейства и асимптотической линии 2-го семейства.

Вычислим угол между асимптотическими линиями разных семейств. Из соотношений (30) получаем для асимптотических направлений следующие выражения:

Подставляя найденные выражения в формулу

получим, что

При (ребро псевдосферы) из этой формулы вытекает, что

т. е. Значит, в точках ребра асимптотические линии разных семейств касаются друг друга. Асимптотические линии касаются также и ребра возврата псевдосферы (убедитесь в этом сами).

Построим параметрические уравнения асимптотических линий, ограничившись подробным рассмотрением линий 1-го семейства, (для 2-го вычисления проводятся аналогично)

Из соотношений (31) для асимптотических 1-го семейства имеем: Подставляя это значение для в параметрические уравнения псевдосферы (27), получим

Кривая (33) является регулярной для всех значений параметра включая и значение отвечающее ребру псевдосферы. В самом деле, функции аналитичны в интервале Что же касается особых точек, то простые вычислений показывают, что

для всех Тем самым особых точек нет и асимптотические линии 1-го семейства — регулярные кривые.

Таким же свойством обладают и асимптотические линии 2-го семейства.

Итак, мы получили следующий удивительный результат: псевдосфера — поверхность с особенностью (ребро) — покрыта двумя семействами асимптотических линий без особенностей. Так как псевдосфера не является в целом регулярной поверхностью, то эти асимптотические мы будем называть обобщенными (рис. 10).

Рис. 1.0. Обобщенные асимптотические на псевдосфере. В точках отмечены углы между асимптотическими. В точке этот угол равен . В точке этот угол больше

Рис. 11. Переход из предельного состояния при в постоянное предельное состояние практически локализован в области D

Введем на псевдосфере новые внутренние координаты х и у по формулам

Тогда

и поэтому

Подставляя найденные выражения для в правую часть первого из соотношений (29), получим

Так как то в координатах x и у первая квадратичная форма примет вид

Обращаясь к формулам (31) и (34), видим, что линии (линия (линия являются асимптотическими. Так как псевдосфера — поверхность постоянной отрицательной кривизны, то эти линии образуют чебышевскую сеть. В этом, впрочем, можно убедиться непосредственно, исходя из вида (35) первой квадратичной формы псевдосферы. Так как кривизна К псевдосферы равна —1, то сетевой угол удовлетворяет уравнению синус-Гордона

В рассматриваемом случае сетевой угол легко вычисляется. Из формулы (32) вытекает, что Выражая и через х и у при помощи формул (34), получим

и далее

Итак, функция

является решением уравнения синус-Гордона и представляет собой сетевой угол между обобщенными асимптотическими универсальной накрывающей псевдосферы (рис. 11).

Найдем область изменения внутренних координат х и у. Каждой точке из полосы изменения координат по формулам (34) ставится в соответствие единственная точка Покажем, что при этом точки заполняют всю плоскость. Для этого достаточно убедиться в том, что по заданным значениям х и у из соотношений (34) определяется единственная точка открытой полосы Имеем

Так как то и удовлетворяет условию значит,

Таким образом, мы доказали, что решение (36) уравнения синус-Гордона задано на всей плоскости Линиями уровня этого решения являются прямые В частности, линии уровня отвечает значение

Подведем итог.

На всей плоскости построено аналитическое решение (36) уравнения синус-Гордона. Это решение можно интерпретировать как сетевой угол сети обобщенных асимптотических линий на универсальной Закрывающей псевдосферы. В проведенных рассуждениях мы исходили из заданной поверхности — псевдосферы, а затем построили решение уравнения синус-Гордона.

Можно поставить такой вопрос. Пусть на всей плоскости задано регулярное решение уравнения синус-Гордона (используя метод, предложенный Бианки, таких решений можно найти бесконечно много). Согласно теореме Гильберта это решение обязательно принимает значения, кратные . Можно ли указать в пространстве такую поверхность постоянной отрицательной кривизны (возможно, с особенностями; они будут отвечать значениям сетевой угол сети обобщенных асимптотических линий на которой совпадает с этим решением? Если это так, то найденную поверхность вместе с сетью обобщенных асимптотических линий и сетевым углом можно рассматривать как одну из возможных геометрических интерпретаций решений уравнения синус-Гордона.

Ответ на поставленный вопрос утвердительный: каждому решению уравнения синус-Гордона можно поставить в соответствие такого рода поверхность (см.: Позняк Э. Г. Геометрическая интерпретация регулярных решений уравнения Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, № 7. С. 1332—1336).

Отметим, что указанная геометрическая интерпретация решений уравнения синус-Гордона помогает уяснению сути некоторых физических процессов.