5°. Экстремальные свойства геодезических

Пусть произвольная точка регулярной поверхности

Рассмотрим некоторую геодезическую поверхности проходящую через точку и покажем, что длина дуги этой геодезической, находящейся в достаточно малой окрестности точки на поверхности меньше длины любой другой кривой, соединяющей на поверхности точки (рис. 52).

Пусть — произвольная точка геодезической окружности достаточно малого радиуса с центром в точке спрямляемая кривая, лежащая в геодезическом круге радиуса и соединяющая точки и Тогда длина кривой удовлетворяет неравенству

причем равенство возможно лишь в том случае, когда отрезок геодезической между точками и X (рис. 53).

Введем в этом геодезическом круге полугеодезические полярные координаты Пусть

— уравнения кривой

Рис. 53. Геодезическая является локально кратчайшей

Так как длину дуги кривой требуется оценить снизу, то естественно ограничиться рассмотрением кривых, не имеющих самопересечений. Тем самым можно считать, что

при .

Если гладкая кривая, то для ее длины получаем следующую оценку:

Если не есть отрезок геодезической, заключенный между точками то на некотором отрезке из интервала изменения параметра выполняется условие Поэтому первое из неравенств в приведенной оценке является строгим.

Равенство возможно лишь в случае, когда т. е. когда геодезическая, идущая из точки в точку

Выберем на поверхности окрестность точки X, столь малой, чтобы она допускала введение полугеодезических полярных координат с полюсом

Возьмем на геодезической (ее уравнение в выбранной системе координат — произвольную точку X, лежащую в окрестности

Любая кривая соединяющая точки и X, либо содержится в геодезическом круге радиуса и тогда

либо выходит за пределы этого круга. В последнем случае

так как

Пример сферы показывает, что экстремальное свойство геодезических носит локальный характер (рис. 54).

Рис. 54. Кривая целиком лежит в геодезическом круге (а), кривая пересекает геодезическую окружность, на которой лежит точка X, в отличной от нее точке

В самом деле, рассмотрим на сфере любые две точки не являющиеся концами одного диаметра. Большая окружность, проходящая через эти точки, определена однозначно и разбивается ими на две дуги разной длины. Обе дуги, однако, являются геодезическими с концами (рис. 55).

Рис. 55. Длина дуги больше длины дуги

Установленное выше локальное экстремальное свойство геодезических позволяет получить их уравнения методами вариационного исчисления. Именно, геодезические линии являются экстремалями функционала длины дуги

В самом деле, уравнения Эйлера для этого функционала имеют вид

где

Отсюда путем прямых вычислений получаем уравнения геодезических

(ср. формулы (8) пункта 2°).