4°. Ковариантное дифференцирование и метрический тензор
Рассмотрим некоторые свойства операции ковариантного дифференцирования для случая, когда задан метрический тензор 
и коэффициенты 
вычисляются по формулам (14) § 8.
УТВЕРЖДЕНИЕ.
Убедимся сначала в справедливости первого из равенств, предъявленных в утверждении.
По определению операции 
имеем
Подставим в правую часть этой формулы выражения для 
через компоненты метрического тензора:
Пользуясь тем, что
получаем
Перейдем теперь к доказательству второго равенства. Так как
то из равенства
получаем, что
Отсюда вследствие невырожденности 
вытекает требуемое
Из того что ковариантная производная метрического тензора равна нулю, в частности, следует, что для любого тензорного поля
выполняются равенства
Равенства (12) означают, что операция ковариантного дифференцирования перестановочна и с операцией поднятия индексов и с операцией опускания индексов.
