Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть поверхность задана векторным уравнением Будем считать функцию дифференцируемой в некоторой окрестности точки которой отвечает точка поверхности S.
ТЕОРЕМА 1. Если производные непрерывны в точке и линейно независимы в этой точке, то поверхность является гладкой в точке
Так как в точке векторы линейно независимы, то в точке поверхности существует единственная касательная плоскость (см. п. 4°). Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с точкой оси располагались в плоскости а ось была направлена по нормали к поверхности в точке (рис. 17).
Рис. 17. Векторы располагаются в касательной плоскости
Рис. 18. Угол между кривыми на поверхности
Пусть координаты вектора в выбранной системе координат. Тогда
Первые две координаты этого вектора в точке обращаются в нуль:
Так как векторы неколлинеарны и непрерывны в точке
в некоторой окрестности этой точки.
Обратимся теперь к параметрическим уравнениям поверхности Имеем
При наших требованиях и полученных выше выводах для первых двух уравнений (5) выполнены все условия разрешимости относительно и и так что в некоторой окрестности точки плоскости (координатной плоскости существуют функции
имеющие непрерывные производные в точке Мы можем перейти к новым параметрам х и у, подставляя функции в формулы (5).
В результате получим, что в некоторой окрестности точки плоскости поверхность будет задаваться параметрическими уравнениями:
т. е. поверхность будет графиком функции
Последнее означает, что в некоторой окрестности точки поверхность однозначно проектируется на касательную плоскость и является поэтому гладкой в этой точке.
Достаточное условие гладкости поверхности.
Для того чтобы поверхность заданная векторным уравнением была гладкой, достаточно, чтобы функция имела непрерывные производные в области задания параметров и в этой области
Действительно, в этом случае обеспечивается гладкость поверхности в каждой точке, непрерывность же касательных плоскостей к поверхности вытекает из непрерывности векторов
задана векторным уравнением 
Будем считать функцию 
дифференцируемой в некоторой окрестности точки 
которой отвечает точка 
поверхности S.
непрерывны в точке 
и линейно независимы в этой точке, то поверхность 
является гладкой в точке 
векторы 
линейно независимы, то в точке 
поверхности 
существует единственная касательная плоскость 
(см. п. 4°). Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с точкой 
оси 
располагались в плоскости 
а ось 
была направлена по нормали к поверхности 
в точке 
(рис. 17).
располагаются в касательной плоскости 
на поверхности 
координаты вектора 
в выбранной системе координат. Тогда
обращаются в нуль:
неколлинеарны и непрерывны в точке
Имеем
так что в некоторой окрестности точки 
плоскости 
(координатной плоскости 
существуют функции
Мы можем перейти к новым параметрам х и у, подставляя функции 
в формулы (5).
плоскости 
поверхность 
будет задаваться параметрическими уравнениями:
будет графиком функции 
поверхность 
однозначно проектируется на касательную плоскость 
и является поэтому гладкой в этой точке.
заданная векторным уравнением 
была гладкой, достаточно, чтобы функция 
имела непрерывные производные 
в области задания параметров и в этой области 
в каждой точке, непрерывность же касательных плоскостей к поверхности 
вытекает из непрерывности векторов 
