5°. Достаточные условия гладкости поверхности

Пусть поверхность задана векторным уравнением Будем считать функцию дифференцируемой в некоторой окрестности точки которой отвечает точка поверхности S.

ТЕОРЕМА 1. Если производные непрерывны в точке и линейно независимы в этой точке, то поверхность является гладкой в точке

Так как в точке векторы линейно независимы, то в точке поверхности существует единственная касательная плоскость (см. п. 4°). Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с точкой оси располагались в плоскости а ось была направлена по нормали к поверхности в точке (рис. 17).

Рис. 17. Векторы располагаются в касательной плоскости

Рис. 18. Угол между кривыми на поверхности

Пусть координаты вектора в выбранной системе координат. Тогда

Первые две координаты этого вектора в точке обращаются в нуль:

Так как векторы неколлинеарны и непрерывны в точке

в некоторой окрестности этой точки.

Обратимся теперь к параметрическим уравнениям поверхности Имеем

При наших требованиях и полученных выше выводах для первых двух уравнений (5) выполнены все условия разрешимости относительно и и так что в некоторой окрестности точки плоскости (координатной плоскости существуют функции

имеющие непрерывные производные в точке Мы можем перейти к новым параметрам х и у, подставляя функции в формулы (5).

В результате получим, что в некоторой окрестности точки плоскости поверхность будет задаваться параметрическими уравнениями:

т. е. поверхность будет графиком функции

Последнее означает, что в некоторой окрестности точки поверхность однозначно проектируется на касательную плоскость и является поэтому гладкой в этой точке.

Достаточное условие гладкости поверхности.

Для того чтобы поверхность заданная векторным уравнением была гладкой, достаточно, чтобы функция имела непрерывные производные в области задания параметров и в этой области

Действительно, в этом случае обеспечивается гладкость поверхности в каждой точке, непрерывность же касательных плоскостей к поверхности вытекает из непрерывности векторов