§ 5. ПОДМНОГООБРАЗИЯ

1°. Гладкие подмногообразия

Пусть непустое подмножество -мерного гладкого многообразия точка из

Локальная карта многообразия называется адаптированной (приспособленной) для если найдется такое, что

где

Если в каждой точке подмножества существует локальная карта, адаптированная для и число к не зависит от выбора этой точки, то называется -мерным гладким подмногообразием гладкого многообразия Подмногообразие является -мерным гладким многообразием (рис. 31).

Рис. 31. Адаптированная карта

Пример 1. Подпространство координатного пространства является его гладким подмногообразием: для всякого множества V, открытого в найдется открытое множество такое, что

Пример 2. Если в определении адаптированной карты положить то получим, что всякое открытое подмножество гладкого многообразия является его гладким подмногообразием. Пример 3. Параболоид вращения

— гладкое подмногообразие пространства

Пусть

где

Введем отображение

действующее по правилу

Тогда карта будет адаптированной для 3 (рис. 32):

Рис. 32. Парабола — гладкое подмногообразие плоскости 2°. Задание многообразий уравнениями

Укажем один часто встречающийся способ задания гладкого многообразия.

ТЕОРЕМА 5. Пусть — гладкое отображение и

— такая точка, что ее полный прообраз

не пуст и в каждой точке

Тогда является гладким подмногообразием многообразия его размерность равна

Пусть произвольная точка из

Выберем локальные карты и так, чтобы

Согласно теореме можно считать, что в этих локальных координатах отображение можно Выразить формулой

Перенумеруем координаты в пространстве

Тогда отображение в окрестности точки будет описываться формулой

Отсюда получаем: множество локально можно задать системой уравнений

Следовательно, гладкое подмногообразие размерности

Пример 1. Рассмотрим функцию определяемую формулой

Полный прообраз

непуст и

в каждой его точке.

Тем самым двумерное подмногообразие пространства

Вообще регулярная линия (поверхность) второго порядка является одно- (дву-) мерным подмногообразием плоскости (трехмерного пространства).

На практике наиболее часто встречаются подмногообразия координатного пространства При помощи доказанной теоремы их можно задавать как поверхности уровня функции переменных или как пересечения таких поверхностей.

Пример 2. Пусть гладкая функция и

во всех точках

Тогда, если множество

непусто, то оно представляет собой -мерное гладкое многообразие (гиперповерхность пространства

Пример 3. Пусть

Рассмотрим систему

Вследствие того, что

эта система описывает двумерное многообразие в пространстве (тор Клиффорда).

Вообще пусть функции переменных, некоторые постоянные. Если множество решений системы

непусто и

в каждой точке из то -мерное гладкое подмногообразие пространства