4°. Полугеодезические полярные координаты

Пусть произвольная точка поверхности Рассмотрим семейство геодезических линий, исходящих из точки во всевозможных направлениях. Зафиксируем одно из этих направлений. Обозначим через угол, образуемый геодезической линией, проходящей через точку X, с этим направлением.

Ортогональные траектории построенного семейства отсекают на всех геодезических дуги равной длины, считая от точки Тем самым каждая из линий второго семейства, обойдя вокруг точки возвращается в исходную точку (рис. 51).

Замкнутые кривые называются геодезическими окружностями на поверхности радиуса с центром в точке

Множество точек на поверхности, ограниченное геодезической окружностью и содержащее точку называют геодезическим кругом.

Рис. 51. Полугеодезическая полярная система координат

Рис. 52. Длина дуги спрямляемой кривой не меньше длины дуги геодезической с теми же концами, если окрестность точки X на поверхности достаточно мала

При таком выборе параметров первая квадратичная форма поверхности принимает следующий вид:

Длина геодезической окружности радиуса и площадь ограниченного ею геодезического круга равны соответственно