6°. Понятие солитонных решений дифференциальных уравнений

В физике солитонами называются нелинейные волны, распространяющиеся с постоянной скоростью и с не изменяющимся во времени профилем. Для этих волн имеет место такой характер взаимодействия, при котором наблюдается лишь сдвиг фаз взаимодействующих волн.

Введем понятия, нужные для дальнейшего изложения. Пусть

— дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции Решение этого уравнения вида

называется бегущей стационарной волной. Это автомодельное решение заданного уравнения. (Решение уравнения называется автомодельным, если фактически оно представляет собой функцию одной переменной. В рассматриваемом случае такой переменной является Если уравнение допускает автомодельные

решения, то при помощи замены переменных оно, как правило, сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению.)

Уединенной волной называется локализованная бегущая стационарная волна, т. е. волна, переход которой из одного постоянного предельного состояния в другое (возможно, и в то же самое) практически полностью локализован.

Примером уединенной волны может служить построенное выше решение

уравнения синус-Гордона

Солитоном будем называть решение уравнения (38) в виде уединенной стационарной волны которая при взаимодействии с другими такими же волнами асимптотически сохраняет свои форму и скорость.

Таким образом, если решение уравнения (38), состоящее только из уединенных волн при больших отрицательных значениях времени

то такие уединенные волны будут солитонами, если единственным результатом их взаимодействия при может быть лишь фазовый сдвиг. Иными словами, и при решение имеет вид

Величины представляют собой фазовые сдвиги уединенных стационарных волн

Отметим, что решение, представляющее собой композиционное состояние нескольких солитонов, называется многосолитонным решением. (Подробное исследование солитонных решений уравнения синус-Гордона можно найти в книге: Новиков С. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980).

Перечислим некоторые из физических явлений, в которых возникает уравнение синус-Гордона.

1. Распространение ультракоротких импульсов в двухуровневых резонанскых средах.

2. Динамика блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах.

3. Некоторые задачи нелинейной электродинамики.

4. Эффект Джозефсона.

5. Распространение колебаний в механических линиях передач.

6. Некоторые задачи единой теории элементарных частиц.

7. Распространение дислокаций в кристаллах.

8. Некоторые задачи акустических взаимодействий.