3°. Соприкасающаяся окружность

Пусть регулярная в окрестности точки кривая. Рассмотрим всевозможные окружности, касающиеся кривой L в точке Та из этих окружностей, порядок соприкосновения которой с кривой L не ниже двух, называется соприкасающейся окружностью (рис. 29).

Рис. 29. Прямая общая касательная кривой L и окружности в точке

ТЕОРЕМА 10. Если кривизна регулярной кривой L в точке отлична от нуля, то в этой точке существует соприкасающаяся окружность кривой эта окружность расположена в соприкасающейся плоскости кривой L и ее радиус равен «

Пусть окружность радиуса касающаяся кривой L в точке Так как кривизна кривой L в точке

отлична от нуля, то у L в этой точке существует соприкасающаяся плоскость .

Введем единичные векторы: общей касательной кривых в точке и главных нормалей соответственно. За параметр на кривых возьмем абсциссу I точки общей проекции точек и рассматриваемых кривых на касательную Векторы кривых отложенные от точки обозначим соответственно через

Подсчитаем производные Вычисление производных не представляет затруднений, так как для полуокружности, касающейся кривой L в точке части кривой вектор имеет вид

Поэтому

Для упрощения вычислений производных выберем сначала за параметр на кривой L длину дуги отсчитываемую от точки и возрастающую в направлении, определяемом вектором Тогда и

Воспользуемся следующими формулами:

Так как при длина дуги то отсюда вытекает, что

Из того, что — при получаем, что

(здесь ) - кривизна кривой L в точке Остается вычислить

Из формулы (5) имеем

откуда

Дифференцируя равенство (8), получим, что

Положим в формулах (8) и Согласно равенствам (7) находим, что

Подставляя все найденные значения в правые части соотношений (6), получаем нужные нам выражения для :

Для того чтобы окружность была соприкасающейся для кривой L в точке согласно теореме 9 достаточно выполнения соотношений

Первое из этих соотношений выполняется вследствие того, что оба входящих в него вектора равны (см. формулы (4) и

Второе выполняется в случае, если и

Итак, соприкасающаяся окружность в точке кривой L существует; вследствие равенства она расположена в соприкасающейся плоскости кривой и ее радиус равен

Замечание 1. Если кривизна то согласно второй из формул Обращение в нуль производной возможно лишь в случае, когда окружность «вырождается» в касательную Значит, если кривизна кривой L в точке равна нулю, то соприкасающаяся окружность в точке кривой L «вырождается» в прямую линию.

Замечание 2. Пусть L - -регулярная кривая и ее кривизна отлична от нуля. Тогда если вектор кривой то центр соприкасающейся окружности в точке кривой, отвечающей данному значению параметра определяется вектором

где вектор главной нормали кривой L в точке

Центр и радиус соприкасающейся окружности называются центром и радиусом кривизны кривой.

Радиус кривизны кривой определяется формулой