§ 2. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

1°. Основное определение

Пусть -мерное топологическое многообразие и —атлас многообразия Возьмем в атласе две любые карты и

Определение. Координатное преобразование

называется гладким, если описывающие его функции перехода

имеют в открытой области непрерывные частные производные всех порядков (бесконечно дифференцируемы, принадлежат классу и якобиан

отличен от нуля.

Это позволяет утверждать, что и координатное преобразование также будет гладким, т. е. соответствующие функции перехода

будут иметь в области непрерывные частные производные всех порядков.

Определение. Будем говорить, что -мерное топологическое многообразие имеет гладкую структуру, если существует атлас многообразия, обладающий следующими свойствами:

1) для любых двух карт из соответствующее координатное преобразование является гладким;

2) атлас максимален.

Разъяснение. Под максимальностью атласа понимается следующее.

Пусть — открытая карта, такая, что для любой карты из атласа преобразование

является гладким. Тогда карта также принадлежит атласу .

На практике для того, чтобы убедиться в том, что многообразие имеет гладкую структуру, достаточно проверить только выполнение условия 1. Это вытекает из того, что любой атлас можно дополнить, притом единственным образом, до максимального.

Подобное дополнение строят при помощи всевозможных допустимых карт.

Определение. Карта называется допустимой для данного атласа если для любой карты из отображение

является гладким.

В дальнейшем, когда это потребуется, будем считать, что допустимая карта принадлежит заданному атласу.

Пример. Рассмотрим на прямой атлас, состоящий из одной карты где - тождественное

преобразование. Открытая карта где не является допустимой. Координатные преобразования имеют вид

соответственно. Первая из этих функций имеет непрерывные частные производные всех порядков, у второй нет в нуле даже первой производной.

Замечание. В приложениях встречаются случаи как гладкой структуры порядка (функции перехода имеют в области задания непрерывные частные производные до порядка включительно, принадлежат классу так и аналитической структуры (функции являются аналитическими, принадлежат классу О).

Определение, -мерное топологическое многообразие, имеющее гладкую структуру, называется -мерным гладким многообразием.

Иногда, чтобы уточнить порядок гладкости, говорят о многообразии класса или класса или класса

Можно сказать и так: гладкое многообразие — это топологическое многообразие, у которого все координатные преобразования являются гладкими.

Пример 1. Координатное пространство является -мерным гладким многообразием: атлас состоит из одной открытой карты где тождественное отображение.

Пример 2. Сфера из пространства является -мерным гладким многообразием: соответствующий атлас состоит из двух карт

Проверим это:

2) функции перехода

описывающие отображение имеют в непрерывные частные производные всех порядков.

Пример 3. Множество невырожденных вещественных матриц второго порядка — четырехмерное гладкое многообразие.

Пусть гладкое многообразие и — атлас Карту из часто называют локальной картой на многообразии, или локальной координатной системой на

Если то область называют координатной окрестностью точки а числа локальными координатами точки

Пусть произвольная точка -мерного гладкого многообразия . В атласе всегда найдется карта такая, что координатная окрестность точки Не ограничивая общности, можно считать, что

открытый шар пространства с центром в точке

Покажем это.

1. Пусть карта из

Рис. 18. Точка имеет нулевые локальные координаты

Построим новое отображение (рис. 18)

по правилу

где сдвиг, определяемый формулой

2. Пусть карта из

Так как точка принадлежит открытой области пространства то существует открытый шар с центром в этой точке, целиком лежащий в Его прообраз открытое множество многообразия

Рис. 19. Указанной окрестности точки соответствует шар в пространстве

Пара открытая карта многообразия обладающая «свойствами 1—2 и допустимая для заданного атласа

Таким образом, в случае необходимости всегда можно считать, что атлас -мерного гладкого многообразия состоит из карт таких, что -мерный открытый шар пространства с центром в начале координат (при этом можно считать, что радиус этого шара один и тот же для всех карт из