3°. Тензоры в точечном пространстве

Введем понятие тензора в -мерном точечном пространстве. Определение. Будем говорить, что в -мерном точечном пространстве задан тензор типа если:

1) для каждого координатного репера указывается упорядоченный набор чисел

— компонент (координат) тензора (относительно координатной системы, определяемой репером );

2) для набора компонент

тензора относительно координатной системы, определяемой, репером справедливо представление

— закон преобразования компонент тензора

Сравнивая данное определение с определением тензора в линейном пространстве (пункт 1° § 1), замечаем, что первое может быть получено из второго формальной заменой слова «базис» на слова «координатный репер». Поэтому, хотя тензор и определен теперь в более общей ситуации, совсем просто убедиться в том, что все ранее введенные понятия и операции переносятся на случай точечного пространства, а все доказанные ранее утверждения остаются в силе. Это относится и к корректности определения (способа введения) тензора, и к алгебраическим операциям над тензорами, и т. п.

Остановимся коротко на том, как определяется метрическая структура точечного пространства.

На векторах пространства (т. е. на векторах связанного с ним линейного пространства задается симметричная невырожденная билинейная форма при помощи которой вводится скалярное произведение векторов

Тем самым точечное пространство наделяется новой, дополнительной структурой.

В случае, когда -положительно определенная квадратичная форма, превращается в евклидово точечное пространство.