ГЛАВА 5. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

В курсе математического анализа вводятся и систематически изучаются такие важнейшие операции над функциями одной и нескольких переменных, как дифференцирование и интегрирование. Их свойства хорошо известны. В приложениях часто приходится рассматривать функции, заданные на множествах более сложной природы, чем прямая, плоскость или -мерное координатное пространство . В этих случаях знакомый аппарат дифференциального и интегрального исчисления напрямую уже, как правило, не работает. Однако идеи, лежащие в его основании, допускают обобщение и развитие, столь необходимые в подобных ситуациях. Возникает то, что иногда принято называть анализом на многообразиях. При этом, конечно, отталкиваются от известных фактов математического анализа.

Чтобы как-то пояснить возникающие проблемы, обратимся к простому примеру.

Пусть на сфере задана некоторая функция. Специально подчеркнем, что функция задается в точках сферы и ни в одной точке, на этой сфере на лежащей, она не определена. Уже здесь, на этом примере, можно увидеть и трудности, которые возникают при попытках непосредственного перенесения основных операций математического анализа, и пути их преодоления.

Если функция задается на плоскости, то для изучения ее свойств естественно ввести на всей плоскости прямоугольную декартову систему координат и далее работать с этой функцией как с функцией двух переменных известными методами. На сфере подобной единой координатной системы просто нет. Правда, можно ввести координатную систему локально, в окрестности каждой точки. Однако введение локальных координат — операция неоднозначная, даже в одной окрестности их можно вводить многими способами. Соответственно каждый раз будут возникать новые функции, и в какой мере свойства этих функций будут связаны между собой, далеко не ясно.

Нельзя не сказать и о другом подходе. В ряде случаев удается продолжить заданную функцию на большее множество. Естественно, это продолжение зависит и от исходного множества и от заданной функции.

Например, для сферы

таковым множеством может служить содержащий ее шаровой слой

где и достаточно мало.

На этом большем множестве у новой функции можно найти необходимые производные, а затем рассматривать их значения только в точках сферы.

Но при таком подходе возникает естественный вопрос: насколько полученные результаты будут зависеть от способа продолжения функции на большее множество?

Еще один вопрос: можно ли заданную функцию проинтегрировать по сфере, и если можно, то как это сделать? Разумеется, ответ на него нужно искать на путях сведения этой задачи к обычному кратному интегрированию. Но и здесь нужно разобраться с локальными координатами.

Пытаясь найти удовлетворительные ответы на поставленные вопросы, мы поступим следующим образом. Сначала введем и изучим класс тех множеств (более сложных, чем координатное пространство на которых будут проводиться основные рассмотрения (гладкие многообразия). Затем перейдем к описанию класса функций на этих множествах, для которых будет строиться новый аппарат (гладкие функции и гладкие отображения). Далее попробуем ввести операции дифференцирования и интегрирования. Естественно, следует стремиться к тому, чтобы в рассматриваемый класс множеств вошло и пространство а развиваемые понятия и операции приводили в этом случае к известным результатам, пусть даже и в несколько непривычной форме.

Конечно, абсолютно все сохранить не удается: у пространства как и у любого другого множества, есть свои, только ему присущие свойства. Поступаясь деталями, мы будем стараться сохранить главное. Следует, однако, иметь в виду, что одно и то же хорошо известное понятие может допускать различные обобщения (разумеется, связанные между собой). Все зависит от того, от каких сторон рассматриваемого явления мы будем отталкиваться и в каком направлении вести эти обобщения.