3°. Локально нормальные координаты

Определение. Координаты в римановом пространстве называются нормальными в точке или локально нормальными, если

Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. В окрестности каждой точки риманова пространства можно ввести координаты, нормальные в этой точке.

Доказательство теоремы разобьем на два этапа.

А. Покажем сначала, как можно выбрать систему координат (V), чтобы в точке выполнялись условия (10).

Обратимся к невырожденным линейным преобразованиям вида (9). Метрический тензор в точке изменяется по следующему правилу:

Из курса линейной алгебры известно, что для любой положительно определенной симметричной матрицы можно указать невырожденное линейное преобразование с матрицей приводящее эту матрицу к единичной

Б. Будем считать, что условия (10) выполнены, т. е. исходные координаты в окрестности точки таковы, что

Укажем преобразование координат сохраняющее равенства (10) и обеспечивающее выполнение условий (11).

Обратимся к формулам (5) пункта 2 § 8 главы 3, записав их лрименительно к принятым здесь обозначениям. Имеем

Убедимся в том, что преобразование (12) сохраняет равенства (10). В самом деле,

и поэтому

В пункте 2 § 8 главы 3 было показано, что преобразование координат (12) обеспечивает в точке выполнение равенств

Из формул (14) и (15) пункта 2 § 8 главы 3 вытекает, что в точке обращаются в нуль и символы Кристоффеля 1-го рода:

и первые производные метрического тензора:

Итак, в точке в системе координат выполняются условия

Тем самым система координат является нормальной в точке

Замечание. Пусть система координат в пространстве нормальная в точке . Тогда разложение компонент метрического тензора по локальной формуле Тейлора с центром в точке имеет следующий вид:

где

Из разложения (17) следует, что если система координат является нормальной в точке то отображение окрестности точки в пространстве на окрестность этой точки в касательном пространстве обладает следующим свойством: отличается от на малые второго порядка относительно