2°. Кручение кривой

Рассмотрим кривую L и ее точки Пусть в — угол между соприкасающимися плоскостями кривой L в точках и соответственно (рис. 20). Легко видеть, что угол между бинормалями в точках и также равен 0.

Мы будем рассматривать предел

Ясно, что вращение бинормали при увеличении параметра может быть направлено как в сторону вектора главной нормали (если векторы сонаправлены), так и в противоположную сторону (если векторы противоположно направлены); ниже мы докажем, что векторы коллинеарны.

Поэтому величине

естественно приписывать знак.

Правило выбора знаков зависит от соглашения. Мы примем следующее правило выбора знаков-, если векторы сонаправлены, то будем считать этот предел отрицательным, если же векторы противоположно направлены, — положительным.

Рис. 20. Треугольник равнобедренный: длины сторон и равны единице, длина стороны равна

Определение. Кручением кривой L в точке называется

снабженный знаком согласно правилу выбора знаков.

Иногда называют второй кривизной кривой.

ТЕОРЕМА 6. Пусть вектор кривой точка кривой отвечающая значению параметра. Тогда если векторы неколлинеарны и существует вектор то кривая L в точке имеет кручение Если параметр — длина дуги то

Для произвольной параметризации

Пусть параметр — длина дуги Так как векторы неколлинеарны, то по непрерывности они неколлинеарны и в некоторой окрестности точки Возьмем точку кривой L из этой окрестности. Согласно теореме 4 в точках и существуют соприкасающиеся плоскости кривой, а следовательно, и бинормали Имеем

При и Поэтому предел левой части последнего равенства существует и равен Значит, существует предельное значение правой части. Нетрудно видеть, что оно равно

Таким образом,

Выше, при формулировке правила выбора знаков, мы пользовались коллинеарностью векторов Докажем, что векторы всегда коллинеарны. Для этого достаточно убедиться в том, что вектор ортогонален векторам (напомним, что

Вектор ортогонален вектору так как из равенства вытекает, что

Покажем, что вектор ортогонален вектору Так как вектор единичный и направлен по касательной, то Вектор ортогонален вектору и лежит в соприкасающейся плоскости (см. замечание пункта 2° § 4). Тем самым, вектор коллинеарен (даже сонаправлен) вектору т. е.

Дифференцируя равенство получим, что Таким образом, вектор ортогонален вектору

Итак, векторы и коллинеарны. Отсюда и из формулы (5) согласно правилу выбора знаков следует, что далее,

Подставляя в формулу (6) выражения для векторов и

получим, что

Таким образом, кривая L в точке имеет кручение, и формула (3) обоснована. -

Для произвольной параметризации имеем (дифференцирование по отмечается штрихами):

где некоторые скалярные величины. Подставляя полученные выражения для производных

в числитель дроби формулы (3) и вспоминая, что

после несложных вычислений получим формулу (4).

Замечание. Кручение кривой измеряет скорость отклонения этой кривой от ее соприкасающейся плоскости. Для плоской кривой Верно и обратное: если кручение кривой всюду равно нулю, то кривая плоская.