2°. Гладкие кривые

Кривая L называется гладкой в точке если в этой точке существует касательная к кривой L и некоторая окрестность точки на кривой L однозначно проектируется на эту касательную.

Точки кривой, в которых она не является гладкой, называются особыми (рис. 10).

Кривая L называется гладкой, если она является гладкой в каждой точке и касательные в точках, кривой L изменяются непрерывно.

Рис. 9. Окрестность точки на кривой множество точек кривой, отвечающих значениям параметра из окрестности касательная к кривой L в точке

Последнее означает, что если любые точки кривой то при касательная в точке стремится к касательной в точке (наименьший угол между этими касательными стремится к нулю).

Рис. 10. а — кривая L, не имеет касательной в точке М; б - в точке кривая имеет касательную но никакая окрестность точки на кривой не проектируется однозначно на (например, точки проектируются в одну и ту же точку С)

Пример. Кривая

гладкая в любой своей точке, но никакая окрестность точки не является гладкой кривой.