6°. Линии кривизны

Кривая на поверхности, направление которой в каждой точке совпадает с главным направлением на поверхности в этой точке, называется линией кривизны.

Для того чтобы дифференциалы определяли главное направление необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

где кривизна нормального сечения в направлении

Исключая получим, что

Формула (24) также дает необходимое и достаточное условие того, чтобы направление было главным.

Запишем ее в более симметричной форме:

Равенство (25) можно рассматривать как дифференциальное уравнение линий кривизны.

Покажем, что в окрестности каждой точки X, не являющейся точкой уплощения или точкой округления, поверхность можно параметризовать так, что координатные линии будут линиями кривизны.

Запишем дифференциальное уравнение линий кривизны коротко так:

Так как все достаточно близкие к точке X точки поверхности также имеют ровно два главных направления, то квадратный трехчлен

в каждой из них будет иметь два вещественных корня, что возможно лишь в случае, если

Это позволяет записать уравнение в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

Интегральные кривые системы являются искомыми координатными линиями на поверхности, т. е. линиями кривизны.