ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Приложения веденных понятий и установленных выше фактов весьма многообразны. Поэтому вполне естественно желание авторов дать какое-то представление об их применениях, рассказать о роли и месте геометрических подходов и методов в решении различных задач. Мы остановимся лишь на некоторых приложениях, не требующих к тому же чрезмерного привлечения дополнительных материалов.

В этой главе приводятся некоторые приложения теории кривых к задачам механики и физики, изучаются геометрические свойства решений разнообразного в своих применениях уравнения, синус-Гордона, приводится тензорное описание некоторых алгебраических и дифференциальных операций, дается определенное представление о псевдоевклидовом и псевдоримановом пространствах, рассказывается о некоторых типичных задачах вычислительной геометрии.

§ 1. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1°. Закон движения материальной точки. Скорость и ускорение

Рассмотрим движение материальной точки по некоторой кривой Пусть длина дуги кривой отсчитываемая от точки (начальное положение материальной точки на кривой . В качестве параметра разумно выбрать время которое отсчитывается от момента . В этот момент материальная точка находилась в начальном положении (рис. 1). Пусть в момент материальная точка находится в точке кривой Обозначим через вектор Тогда закон движения точки по кривой L можно записать так:

Если координаты точки то векторное соотношение (1) равносильно следующим трем соотношениям:

которые представляют собой параметрические уравнения кривой

Скалярная скорость движения точки по кривой L равна . Для векторной скорости V, направленной по касательной к кривой L в точке получаем выражение

Напомним, что (см. § 3 главы 1).

Рис. 1. Кривая как траектория материальной точки

Вектор ускорения

расположен в соприкасающейся плоскости кривой L .в точке (см. § 4 главы 1). Дифференцируя выражения, входящие в соотношение (3) по получим для ускорения - следующую формулу:

Придадим соотношению (4) несколько иной вид. Имеем

где - единичный вектор касательной кривой L в точке По первой формуле Френе (см. § 5 главы 1)

(здесь - кривизна кривой единичный вектор главной нормали). Это позволяет записать соотношение (4) так:

Формула (5) дает разложение ускорения движущейся точки на тангенциальную составляющую (составляющую по касательной) и нормальную составляющую (составляющую по главной нормали).

Отметим, что при равномерном движении по кривой, т. е. при таком движении, когда скалярная скорость — движения постоянна, вектор направлен по главной нормали. Действительно, в этом случае и поэтому из формулы (5) вытекает, что

Мы видим, что при равномерном движении ускорение направлено по вектору а длина ускорения пропорциональна кривизне кривой (коэффициент пропорциональности равен квадрату скалярной скорости, которая постоянна).