2°. Изометрические погружения плоскости Лобачевского в евклидово пространство Е3

Плоскость Лобачевского определяется системой аксиом Лобачевского, отличающейся от системы аксиом Евклида лишь аксиомой о параллельных. У Лобачевского аксиома о параллельных утверждает, что через точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Введем на плоскости Евклида прямоугольную декартову систему координат Линейный элемент евклидовой плоскости в этой координатной системе имеет вид

а гауссова кривизна линейного элемента (6) равна нулю:

В этом можно легко убедиться при помощи формулы (19) § 5 главы 2.

На плоскости Лобачевского можно ввести полугеодезическую систему координат так, что

где (Этот вопрос разобран в книге Н. В. Ефимова «Высшая геометрия» (М.; Л., ОГИЗ ГИТТЛ, 1945).

Вычислим гауссову кривизну плоскости Лобачевского, воспользовавшись формулой (11) § 6 главы 2 (см. также формулу (9) этого параграфа). Вновь считая получим

Таким образом, плоскость Лобачевского имеет постоянную гауссову кривизну

В частности, если то

Обычно считают, что кривизна плоскости Лобачевского равна — 1.

Обратимся теперь к вопросу об изометрическом погружении плоскости Лобачевского в евклидово пространство

Пусть задана плоскость Лобачевского, т. е. двумерное риманово многообразие (см. главу 4. Риманова геометрия), линейный элемент которого задается формулой

Эта формула получается из формулы (8) при

Для решения вопроса о том, существует ли поверхность в пространстве первая квадратичная форма которой задается соотношением обратимся к § 5 главы 2. В параграфе исследовалась следующая задача. Пусть даны две квадратичные формы

Существует ли поверхность для которой эти формы будут соответственно первой и второй квадратичными формами? Окончательный вывод приведенных там рассуждений состоит в следующем: если коэффициенты этих форм связаны соотношениями Гаусса и Петерсона — Кодацци (формулы (19) и (20) § 5 главы 2), то такая поверхность существует и, с точностью до положения в пространстве, единственная (теорема Бонне, 3° § 5 главы 2).

Мы поставили перед собой другую задачу. Нам дана лишь первая квадратичная форма (форма Тем самым коэффициенты известные функции, а коэффициенты второй квадратичной формы неизвестны. Требуется найти в пространстве поверхность первая квадратичная форма которой совпадает с заданной. Эта задача называется задачей об изометрическом погружении в трехмерное евклидово пространство абстрактно заданной двумерной метрики.

Для решения поставленной задачи можно поступить так: будем рассматривать уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци как соотношения, которым удовлетворяют неизвестные Если из этих уравнений удастся найти то возникнет следующая ситуация. Мы будем располагать известными функциями и найденными причем все они связаны соотношениями Гаусса — Петерсона — Кодацци. Согласно теореме Бонне существует поверхность с данной первой квадратичной формой (формой и второй квадратичной формой с найденными коэффициентами

Займемся исследованием этого вопроса для случая плоскости Лобачевского (плоскости

Конечно, можно было бы поступить стандартным способом — обратиться к какому-нибудь из линейных элементов плоскости например к определяемому формулой (10), составить уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци, в которых коэффициенты будут неизвестными функциями, и попытаться как-то охарактеризовать решения этой системы. Но этот путь непростой, поскольку мы не имеем никакой дополнительной информации о неизвестных функциях Поэтому мы поступим по-другому. Представим себе, что в пространстве есть поверхность внутренняя геометрия которой представляет собой геометрию Лобачевского (напомним, что понятие внутренней геометрии обсуждалось в § 6 главы 2). Некоторая информация о поверхности уже у нас имеется: ее гауссова кривизна отрицательна — Так как гауссова кривизна равна отношению дискриминантов второй и первой квадратичных форм поверхности (см.

формулу (34) § 4 главы 2) и дискриминант первой формы положителен, то знак дискриминанта второй формы совпадает со знаком гауссовой кривизны. В рассматриваемом случае этот знак отрицателен и поэтому на поверхности можно ввести параметризацию, при которой координатные линии будут асимптотическими линиями поверхности (см. 9° § 4 главы 2). Выберем на поверхности такую параметризацию и обозначим ее параметры через . В этом случае вид первой квадратичной формы — ее коэффициенты пока нам явно неизвестен, зато коэффициенты равны нулю. Так как

то с учетом имеем

Подставляя значения в уравнения Петерсона — Кодацци (формулы (20) § 5 главы 2), после несложных преобразований получим следующую систему соотношений:

Эту систему можно рассматривать как линейную однородную систему относительно неизвестных Так как определитель А системы (11) удовлетворяет условию

то эта система имеет только нулевое решение

и, следовательно,

Введем новые параметры х и у по формулам

При таком преобразовании параметров имеем

и, далее,

где сетевой угол координатной сети. (Если

то где угол между координатными линиями.)

Мы можем сделать теперь важный вывод: если внутренняя геометрия поверхности представляет собой геометрию Лобачевского, то сеть асимптотических линий на этой поверхности является чебышевской сетью (в 1° было установлено, что если линейный элемент поверхности имеет вид (12), то сеть координатных линий будет чебышевской).

Отметим еще одно обстоятельство. В проведенных рассуждениях мы исходили из предположения, что поверхность имеет гауссову кривизну — 1. Но тогда для сетевого угла семейства асимптотических линий поверхности образующих чебышевскую сеть, имеет место уравнение синус-Гордона (1).

Таким образом, с геометрической точки зрения решения уравнения синус-Гордона либо определяют сетевой угол чебышевской сети на плоскости Лобачевского, либо определяют сетевой угол семейства асимптотических линий на поверхности, внутренняя геометрия которой представляет собой геометрию Лобачевского.