3°. Теорема об алгебраических операциях над тензорами

ТЕОРЕМА 2. В результате каждой из алгебраических операций над тензорами вновь получаются тензоры.

1+. Линейная комбинация тензоров одного типа - является тензором.

Компоненты тензоров типа изменяются по одинаковому закону. Запишем этот закон преобразования и для тензора и для тензора . Имеем

Умножая обе части первой формулы на число а, второй — на число и складывая, получаем, что

где

Формула (2) показывает, что компоненты геометрического объекта при переходе от одной координатной системы к другой изменяются по тому же правилу, что и компоненты у по тензорному закону типа Это означает, что

— тензор типа

Произведение любых двух тензоров является тензором.

Перемножая соотношения, описывающие законы преобразования тензоров

Т-типа

и -типа

получаем, что

где

Формула (3) означает, что компоненты геометрического объекта при переходе к новой координатной системе изменяются по тензорному закону типа

Доказательство свойств проведем для тензоров типа

Несмотря на то, что это весьма частный случай, ограничения общности, по существу, не возникает. Сказанное следует из того, что в алгебраических операциях активно участвуют ровно два индекса — либо одного типа (свойство либо разных типов (свойство 4+).

3+. Транспонирование тензора типа по нижним индексам приводит к тензору типа

Рассмотрим тензор

Компоненты тензора преобразуются по правилу (1):

Пользуясь тем, что выбор букв для обозначения суммирования не Ьлияет на сумму, поменяем в последней формуле местами. Тогда

Поменяв теперь местами получим

и, значит,

Последнее означает, что

— тензор типа

Свертка тензора типа является тензором типа

Пусть

— тензор типа Положим

Вновь прибегая к правилу (1), получим:

Воспользуемся тем, что

Тогда

и, значит,

Тем самым тензор типа

Хорошим упражнением на пути овладения индексным формализмом является проведение доказательства свойств в общей ситуации — для тензора

При этом полезно иметь в виду, что любое, транспонирование тензора можно представить как последовательное исполнение транспонирований только по двум индексам.

5+. Симметрирование (альтернирование) тензора типа дает симметричный (кососимметричный) тензор типа

Обе операции проводятся по следующей схеме.

A. Находятся все тензоры, получающиеся из заданного транспонированием (по нижним индексам). Их число равно

Б. Составляется линейная комбинация найденных тензоров:

1) при симметрировании все тензоров умножаются на

2) при альтернировании с коэффициентами берутся только тензоры, полученные из заданного транспонированием при помощи четных перестановок нижних индексов (число таких тензоров равно остальные тензоры берутся с коэффициентами — 1.

Так как транспонирование тензора не изменяет его типа (свойство то построение указанных линейных комбинаций возможно.

B. Построенная линейная комбинация делится на число слагаемых

Остается убедиться в том, что транспонирование полученного тензора либо не изменяет его (при симметрировании) либо меняет на противоположный (при альтернировании).

S) При транспонировании тензор 5 преобразуется в равный ему вследствие того, что эта операция изменит только порядок слагающих его тензоров.

А) При транспонировании тензор А преобразуется в противоположный вследствие того, что изменится не только порядок слагающих его тензоров, но и знак перед каждым из них.

Замечание. Симметрирование не изменяет симметричного тензора. При альтернировании симметричного тензора получается нулевой тензор. Альтернирование сохраняет кососимметричный тензор. Симметрирование обращает его в нулевой тензор.