§ 3. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ

1°. Метрический тензор евклидова пространства

В этом пункте мы напомним некоторые известные факты (см. § 3 главы 3), не всегда придерживаясь принятых там обозначений.

Пусть в -мерном линейном пространстве задана билинейная форма симметричная и невырожденная (для любого вектора можно указать такой вектор у, что Потребуем также, чтобы билинейная форма была полярной для некоторой положительно определенной квадратичной формы. Определим в пространстве операцию скалярного умножения для любых двух векторов х и у следующим образом:

В этом случае пространство наделяется метрической

структурой и превращается в евклидово пространство со скалярным произведением (1).

Пусть базис пространства Тогда тензор типа координатами

называется (ковариантным) метрическим тензором пространства Ясно, что

Если матрица перехода от базиса к базису то координаты тензора в базисе связаны с координатами этого тензора в базисе соотношениями

Напомним (см. § 3 главы 3), что преобразуется по правилу

Так как билинейная форма по условию не вырождена, то Из соотношения (5) вытекает, что отличен от нуля в любом базисе Поэтому в любом базисе возможен переход от матрицы к обратной матрице, компоненты которой обозначим через . В § 3 главы 3 было доказано, что тензор типа Это означает, что если матрица перехода от базиса к базису то

Матрица является обратной к матрице

Замечание. Тензор называется (контравариантным) метрическим тензором евклидова пространства Этот тензор симметричен,

Контравариантный метрический тензор естественно обозначить тем же символом что и ковариантный, а величины рассматривать соответственно как контрвариантные и ковариантные координаты одного и того же тензора