3°. Внешние дифференциальные формы на многообразии

Пусть

— гладкая функция, заданная в пространстве точка из

Из курса математического анализа известно, что дифференциал в точке есть линейная функция векторов смещения от этой точки.

Пусть — вектор смещения. Тогда

Сами координаты точки х из можно рассматривать как гладкие функции. Поэтому в каждой точке пространства определены дифференциалы этих функций:

Тем самым

— линейные формы (рис. 34).

Линейной формой будет и любая их комбинация

Записывая формулу (1) несколько по-иному:

или

замечаем, что в линейном пространстве линейных форм в точке формы образуют базис.

Внешнее произведение форм описывается следующей формулой:

Внешней дифференциальной -формой со назовем выражение вида

где — кососимметричное тензорное поле типа

Пример 1. Внешняя дифференциальная -форма в пространстве имеет вид

Внешним дифференциалом от внешней дифференциальной -формы со называется внешняя -форма определяемая по правилу

Пример 2. Внешний дифференциал от линейной формы

равен

Внешний дифференциал -формы из предыдущего примера равен

Пусть -мерное гладкое многообразие. Зафиксируем точку

Полилинейная кососимметричная функция от касательных векторов из касательного пространства называется внешней формой степени

Если векторы линейно зависимы, то вследствие полилинейности и кососимметричности имеем

В частности, не существует ненулевой внешней формы степени выше

Совокупность внешних форм степени в точке многообразия образует линейное пространство Оно конечномерно.

Введем операцию внешнего умножения внешних форм при помощи равенства

Из определения вытекает, что

Пусть локальная карта и

— соответствующий базис касательного пространства (заданный в этой карте единичными векторами пространства направленными по координатным осям).

Обозначим через форму 1-й степени, определяемую равенством

Формы

образуют базис пространства

Пусть - произвольное кососимметричное тензорное поле типа Тогда выражение

инвариантно относительно замены координат

В самом деле, из равенств

получаем

В частности, внешняя дифференциальная форма степени в координатах имеет вид:

а в координатах (у):

Пусть

— внешняя дифференциальная форма степени

Внешняя форма

степени называется внешним дифференциалом формы .