Зафиксируем эту форму и положим
Тем самым каждой паре векторов х и у ставится в соответствие число 
определяемое по правилу (1).
В случае, когда 
симметричная билинейная форма, полярная положительно определенной квадратичной форме, пространство 
наделяется новой дополнительной структурой и превращается в евклидово пространство, в котором 
представляет собой скалярное произведение векторов х и у.
Пусть — базис пространства 
Рассмотрим совокупность компонент
Ясно, что 
тензор типа при переходе к другому базису числа 
изменяются по правилу:
Назовем тензор 
(ковариантным) метрическим тензором или, кратко, метрикой.
Пример. Найдем закон преобразования 
при переходе к другому базису.
При изменении базиса числа 
преобразуются по правилу:
Если считать номером строки в матрицах 
первый индекс, в матрице 
нижний индекс, а в матрице 
верхний индекс, то это правило можно записать в матричной форме следующим образом:
Так как при умножении матриц их определители также перемножаются и
то в результате получим
Если
то
Из курса линейной алгебры известно следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 3. Билинейная форма 
невырождена в том и только в том случае, когда 
Тем самым в любой координатной системе возможен переход от матрицы 
к обратной матрице. Обозначим компоненты обратной матрицы через 
Тогда
УТВЕРЖДЕНИЕ. 
- тензор типа 
т. е. 
Достаточно показать, что матрица 
определяемая формулой (2), является обратной к матрице
Имеем
Аналогично проверяется равенство
Тензор 
называется контравариантным метрическим тензором.
задана билинейная форма 
симметричная, 
и невырожденная: для любого ненулевого вектора х можно указать вектор у, такой, что 
