2°. Касательное пространство

Множество всех касательных векторов в точке гладкого многообразия обозначим через Это множество непусто: ему принадлежит нулевой вектор нулевое отображение

Определим на множестве операции сложения касательных векторов и умножения касательного вектора на число.

Пусть Положим

Нетрудно проверить, что и сумма касательных векторов и произведение касательного вектора на число а также являются касательными векторами.

Тем самым множество превращается в вещественное линейное пространство. Его называют касательным пространством гладкого многообразия в точке

Найдем размерность касательного пространства

Пусть локальная карта (система координат) и Тогда для любой функции можно построить обычную бесконечно дифференцируемую функцию определенную на открытом подмножестве пространства

Вычисляя частные производные функции по переменным получим

Тем самым каждой функции ставится в соответствие чисел:

Вывод: выбор системы локальных координат определяет в касательном пространстве векторов, действующих по правилу

Эти векторы принято обозначать так:

Имеем

Пример. Пусть -обычная функция переменных. С каждой производной по направлению

естественно связан оператор дифференцирования

ТЕОРЕМА 2. Векторы

образуют базис касательного пространства

Доказательство опирается на следующий простой факт. ЛЕММА. Пусть функция определена в открытом шаре пространства с центром в точке и имеет в этом шаре непрерывные частные производные всех порядков, т. е. принадлежит классу

Тогда существуют функции класса такие, что

Проведя в тождестве

дифференцирование под знаком интеграла, получим

Функции определяются равенствами

и также принадлежат классу в рассматриваемом шаре.

Ясно, что

Обратимся к доказательству теоремы.

Покажем сначала, что касательные векторы

порождают все касательное пространство

Пусть Без ограничения общности можно считать что локальная карта обладает следующими свойствами:

Заменяя в формуле на получим

где произвольная точка из и

Перейдем к непосредственному вычислению Имеем

Таким образом,

Отсюда в силу произвольности функции заключаем, что

Покажем теперь, что векторы

линейно независимы.

Пусть

Тогда

Но

и

Поэтому

Таким образом, базис

СЛЕДСТВИЕ.

Выбирая другую локальную карту получаем еще один базис касательного пространства

Векторы этого базиса выражаются через векторы базиса формуле

Покажем это.

Пусть Тогда

Отсюда в силу произвольности функции получаем формулу (4).

Впрочем, формулу (4) можно получить и непосредственно из разложения (3), полагая в нем

Замечание 1. Пусть и некоторое отображение со свойствами пункта 1°, т. е. Тогда в существует, и притом ровно один, вектор такой, что

В самом деле, выберем в пространстве каноническую систему координат Тогда

Полагая в формуле получим

Вводя обозначение

приходим к требуемой формуле:

где

Замечание 2. Касательные пространства и где не имеют общих элементов. В частности,