3°. Теорема Бонне

Предположим выполненными следующие условия.

В некоторой односвязной открытой области (рис. 46) на плоскости параметров и заданы две квадратичные формы:

и

т. е. в каждой точке области определены функции

Рис. 46. Односвязная область изменения параметров

Наложим на эти функции ряд ограничений.

1. Потребуем, чтобы всюду в области 3 первая из квадратичных форм

была положительно определенной.

2. Будем считать, что в каждой точке области 3 функции (21) — (22) связаны формулами Гаусса-Петерсона-Кодацци (19) — (20), при этом и сами функции и их производные, входящие в формулы (19) — (20), непрерывны всюду в области 3), Тогда имеет место следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4. Существует регулярная поверхность, для которой заданные формы (I) и (II) являются соответственно первой и второй квадратичными формами. Формами (I) и (II) эта поверхность определяется однозначно с точностью до положения в пространстве.

Тем самым утверждается, что при выполнении условий 1 и 2 в области можно построить векторную функцию

такую, что

и

где

Причем если — произвольные векторы (векторы b и с неколлинеарны), то условиями

где некоторая точка области 3, эта векторная функция определена однозначно.

Существование. Прежде всего, пользуясь формулами (8)- (11) п. 1°, вычислим по коэффициентам заданных квадратичных форм (I) и (II) коэффициенты

Для решения поставленной задачи построим вспомогательную систему дифференциальных уравнений, линейных относительно неизвестных функций

(несомненная связь уравнений системы (23) с деривационными формулами Вейнгартена (3) — (4) не случайна).

Построенная система (23) обладает следующим замечательным свойством: равенства

выполняются тождественно в силу уравнений (23).

Чтобы убедиться в этом, достаточно провести требуемые дифференцирования и, заменив появляющиеся в результате производные векторных функций по формулам (23), воспользоваться формулами Гаусса-Петерсона-Кодацци (19) - (20).

Тождественное выполнение равенств (24) означает, что для системы (23) соблюдены условия интегрируемости.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что в этом случае система (23) имеет и притом единственное решение при заданных начальных значениях неизвестных функций.

Выберем три вектора так, чтобы они образовывали правую тройку и в некоторой фиксированной точке области 2) выполнялись равенства

Пусть

— решение системы (23), удовлетворяющее выбранным начальным условиям

Так как для решения (26) системы (23) выполняется равенство

то найдется векторная функция

для которой

Эта векторая функция может быть вычислена, например, следующим образом:

(криволинейный интеграл берется вдоль гладкой кривой целиком лежащей в области 2) и соединяющей точки и

Покажем, что поверхность, задаваемая радиусом-вектором (28), имеет первую и вторую квадратичные формы, соответственно равные заданным формам

Чтобы убедиться в справедливости равенства

достаточно в силу соотношения (9) проверить, что

Преобразуем уравнения системы (23) к удобной для дальнейших рассмотрений форме.

Умножим их поочередно на векторы и . Из полученных при этом восемнадцати скалярных соотношений путем простейших преобразований приходим к двенадцати, которые можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений для скалярных величин

Приведем часть из этих двенадцати уравнений:

Похожую структуру имеют и остальные восемь уравнений.

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что замена в уравнениях (31) величин (30) на

соответственно обратит каждое из уравнений (31) в тождество. Это относится и к восьми другим уравнениям.

Обратимся к соотношениям (25) и (27). Набор (32), как и набор (30), в точке области 2) принимает значения

соответственно.

Из того, что наборы (30) и (32) имеют одинаковые начальные значения, в силу единственности решения системы (31) вытекает, что эти наборы совпадают тождественно:

Первое, второе и четвертое тождества (33) обеспечивают справедливость равенства (29).

Тем самым первая квадратичная форма поверхности с радиус-вектором (28) совпадает с формой (I).

Чтобы убедиться в совпадении второй квадратичной формы поверхности (28) с формой (II), обратимся к оставшимся тождествам (33):

Переписав их в несколько иной форме

видим, что вектор является единичным вектором нормали поверхности (28). При этом в силу условий, наложенных на начальные значения тройка правая и

Следовательно, коэффициенты второй квадратичной формы построенной поверхности равны соответственно

Умножая обе части каждого из первых четырех уравнений системы (23) скалярно на вектор и принимая во внимание равенства (34), получаем, что

Это означает, что вторая квадратичная форма рассматриваемой поверхности (2) имеет вид

и тем самым совпадает с заданной формой (II).

На этом доказательство существования регулярной поверхности с заданными первой и второй квадратичными формами заканчивается.

Единственность. Покажем, что построенная выше поверхность единственна с точностью до положения в пространстве.

Пусть — поверхности, заданные векторами у которых в соответствующих точках совпадают первые квадратичные формы и вторые квадратичные формы. Отметим на каждой из этих поверхностей по точке, отвечающей набору параметров и

Параллельным переносом одной из поверхностей (если это необходимо) можно добиться совпадения отмеченных точек.

Считая, что точка отвечающая набору параметров общая для обеих поверхностей, повернем одну из них так, чтобы в общей точке совпали единичные векторы нормалей к этим поверхностям. При этом, конечно, совпадут и касательные плоскости поверхностей в точке

Ясно, что проведенные действия не изменят квадратичных форм поверхности, перемещаемой в пространстве. Это обеспечивается тем, что при параллельном переносе поверхности и при ее повороте сохраняется взаимное расположение производных радиус-вектора и единичного вектора нормали.

Считая, что в общей точке поверхности имеют общую нормаль, повернем одну из поверхностей вокруг этой нормали так, чтобы в точке совпали направления соответствующих координатных линий поверхностей, скажем, линий Тогда направления координатных линий совпадут автоматически вследствие того, что углы между направлениями координатных линий определяются коэффициентами первой квадратичной формы и в точке у обеих поверхностей они одинаковы.

Пусть

радиус-векторы поверхностей соответственно после описанных перемещений. Это означает, что в точке выполняются равенства

Обратимся к системе (23).

Каждый из наборов

и

является решением этой системы. Так как в силу условий (35) — (36)

эти решения совпадают в начальной точке то вследствие единственности решения системы (23) они равны тождественно:

Отсюда вытекает совпадение дифференциалов

и равенство

Полагая в нем в силу условия (35) получим, что

Следовательно,