5°. Метрический тензор в координатном пространстве
Зададим в области X координатного пространства 
дважды ковариантный тензор 
компоненты 
которого, вычисленные в координатах 
подчиняются условиям:
1) симметричности, 
и
2) положительной определенности (невырожденности, 
Из закона преобразования
вытекает, что эти условия сохраняются при переходе к любым другим координатам.
Назовем этот тензор 
метрическим тензором, или метрикой. Совершенно так же, как и в пунктах 1° и 2° § 3, вводятся операции поднятия и опускания индексов произвольного тензора, дважды контравариантный метрический тензор и т. п.
По аналогии с формулами пунктов 2° и 3° § 7 можно определить длину дуги произвольной гладкой кривой
и объем 
произвольной области
