§ 5. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

Использование параметрического способа задания кривых и поверхностей в прикладных задачах часто оказывается удобным во многих отношениях. Освобождая от привязки к какой-то определенной системе координат, это упрощает вычисления, построение графических изображений на экране дисплея, весьма полезно при конструировании достаточно гладких составных кривых и поверхностей по заданному остову.

В этом параграфе мы коротко остановимся на некоторых подходах к конструированию кривых и поверхностей, отсылая читателей за подробностями к книге А. Фокса и Пратта «Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве» (М.: Мир, 1982).

1°. Уравнение отрезка кривой

Пусть фиксированные точки пространства с радиус-векторами и соответственно. Зададим в этих точках ненулевые векторы То и Т: и попробуем провести через точки какую-нибудь кривую, касательные векторы которой в точках совпадали бы с заданными векторами (рис. 14).

Рис. 14. а - при кривая L является более полной, чем кривая

Рассмотрим кривую заданную радиусом

и потребуем, чтобы выполнялись следующие условия:

Находя векторные коэффициенты из вытекающих из условий (2) соотношений

получим

Подставим выражения (3) для векторов в формулу (1) и запишем полученные соотношения в следующей матричной форме (форме Фергюсона):

Кривая с радиусом (4) является искомой. Ясно, что вид этой кривой существенно зависит от направлений и длин касательных векторов в опорных точках.

При перегруппировке слагаемых многочлен (1) можно записать в виде

(достаточно положить Из формулы (5) получаем, что

Тем самым кривая (5) проходит через точки задаваемые векторами а векторы касательных к кривой в этих точках коллинеарны соответственно векторам

Ломаная называется характеристической ломаной кривой (5) (рис. 15).

Рис. 15. характеристическая ломаная кривой

В матричной форме запись уравнения кривой (5) выглядит так (форма Безье):

Полученная кривая регулярна. Вычислим, например, ее кривизну в граничных точках. Имеем