3°. Символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода
Пусть в области X задан метрический тензор 
Тогда коэффициенты 
в разложении (1) можно выразить через его компоненты 
Чтобы получить указанный явный вид, умножим обе части равенства (1) на вектор скалярно.
Пользуясь тем, что
получаем
Обозначим для удобства правую часть последней формулы через 
и найдем для 
явное выражение.
Дифференцируя обе части равенства (12) по переменной 
получаем, что
или, с учетом формул (13) и (14),
Соотношение (15) справедливо для любых 
заключенных между 
Чтобы найти нужные нам явные выражения, поступим следующим образом.
Последовательно придавая тройке 
в формуле (15) значения 
получим соответственно
Прибавляя к первому равенству второе и отнимая третье, с учетом симметричности 
коэффициентов 
по индексам 
находим, что
Остается выразить 
Обратимся к формулам (14). Пользуясь тем, что
имеем
Отсюда, полагая в равенстве 
получаем
Верно и обратное. Для величин 
введенных по формулам (17), выполняется закон преобразования (4). В этом нетрудно убедиться путем прямых вычислений.
Определение. Коэффициенты 
, вычисленные по формуле (14), называются символами Кристоффеля 1-го рода, а коэффициенты 
определяемые формулой (17), — символами Кристоффеля 2-го рода.
Замечание. Пусть 
прямолинейные координаты. Тогда компоненты 
метрического тензора не зависят от выбора точки 
(постоянны) и, значит, 
Из формул (16) и (17) видно, что в этом случае символы Кристоффеля обращаются в нуль:
Выше (в 2°. Специальные системы координат) было показано, что в окрестности произвольной точки 
можно ввести криволинейные координаты 
таким образом, что символы Кристоффеля 
вычисленные в этих координатах, в самой точке 
обращаются в нуль:
Из формулы (14) вытекает, что в этих координатах также и
Отсюда, пользуясь равенством (15), получаем, что
